Hoe herleid je vergelijkingen met sinus en cosinus?

Question

Ik heb moeite met het herleiden van vergelijkingen met sinus en cosinus. Ik snap bijvoorbeeld niet waarom `cos(64) = a / 6` wordt herleid naar `a = 6 * cos(64)`, en waarom `sin(64) = 13 / s` wordt herleid naar `s = 13 / sin(64)`. Kunnen jullie uitleggen waarom dit zo is en hoe ik dit soort herleidingen makkelijk kan onthouden? Ook zou ik graag willen weten hoe ik dit toepas in een voorbeeld, zoals het berekenen van zijde AB in een driehoek met Hoek C = 90°, zijde AC = 17 en Hoek B = 17°.

JoJoschool · Accepted Answer

Het herleiden van vergelijkingen met sinus en cosinus draait om het isoleren van de onbekende variabele door aan beide zijden van de vergelijking dezelfde wiskundige bewerking uit te voeren.

*   **Voorbeeld 1: `cos(64) = a / 6`**
    Om de variabele `a` te isoleren, vermenigvuldig je beide zijden van de vergelijking met 6.
    `cos(64) * 6 = (a / 6) * 6`
    Dit resulteert in `a = 6 * cos(64)`.

*   **Voorbeeld 2: `sin(64) = 13 / s`**
    Om de variabele `s` te isoleren, kun je eerst beide zijden van de vergelijking met `s` vermenigvuldigen:
    `sin(64) * s = (13 / s) * s`
    Dit geeft `s * sin(64) = 13`.
    Vervolgens deel je beide zijden door `sin(64)`:
    `(s * sin(64)) / sin(64) = 13 / sin(64)`
    Dit resulteert in `s = 13 / sin(64)`.

Om makkelijk te onthouden welke goniometrische functie (sinus, cosinus, tangens) je moet gebruiken in een rechthoekige driehoek, kun je het ezelsbruggetje **SOS, CAS, TOA** gebruiken:

*   **SOS**: **S**inus = **O**verstaande zijde / **S**chuine zijde. Gebruik sinus als je de overstaande en de schuine zijde kent of wilt berekenen.
*   **CAS**: **C**osinus = **A**anliggende zijde / **S**chuine zijde. Gebruik cosinus als je de aanliggende en de schuine zijde kent of wilt berekenen.
*   **TOA**: **T**angens = **O**verstaande zijde / **A**anliggende zijde. Gebruik tangens als je de overstaande en de aanliggende zijde kent of wilt berekenen.

**Toepassing in een voorbeeld:**
Stel, je hebt een rechthoekige driehoek met Hoek C = 90°, zijde AC = 17 en Hoek B = 17°. Je wilt de lengte van zijde AB berekenen.

1.  **Bereken Hoek A**: De som van de hoeken in een driehoek is altijd 180°.
    Hoek A = 180° - Hoek B - Hoek C
    Hoek A = 180° - 17° - 90° = 73°

2.  **Gebruik de sinusregel**: De sinusregel stelt dat in elke driehoek de verhouding van een zijde tot de sinus van de tegenoverliggende hoek constant is.
    $$
    \frac{AB}{\sin(\text{Hoek A})} = \frac{AC}{\sin(\text{Hoek B})}
    $$

3.  **Vul de bekende waarden in**:
    $$
    \frac{AB}{\sin(73°)} = \frac{17}{\sin(17°)}
    $$

4.  **Isoleer AB**: Vermenigvuldig beide zijden met $\sin(73°)$ om AB te vinden.
    $$
    AB = \frac{17 \cdot \sin(73°)}{\sin(17°)}
    $$

5.  **Bereken de waarde**:
    $\sin(73°) \approx 0.9563$
    $\sin(17°) \approx 0.2924$
    $$
    AB \approx \frac{17 \cdot 0.9563}{0.2924} \approx 58.1
    $$
De lengte van zijde AB is dus ongeveer 58,1.

Hoe herleid je vergelijkingen met sinus en cosinus?

Hoe herleid je vergelijkingen met sinus en cosinus?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerde vragen