Hoe bereken je de baansnelheid van een satelliet?

De baansnelheid van een satelliet bereken je door te begrijpen dat de gravitatiekracht tussen het centrale hemellichaam (zoals de aarde) en de satelliet de middelpuntzoekende kracht levert die nodig is om de satelliet in zijn stabiele cirkelbaan te houden.

De formule voor de gravitatiekracht ($F_g$) tussen twee massa's is: $F_g = G \frac{M m}{r^2}$ Hierin is:

• $G$ de gravitatieconstante ($6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$)
• $M$ de massa van het centrale hemellichaam (bijvoorbeeld de aarde) in kilogram (kg)
• $m$ de massa van de satelliet in kilogram (kg)
• $r$ de afstand van het middelpunt van het hemellichaam tot het middelpunt van de satelliet (de baanstraal) in meter (m). Deze baanstraal is de straal van het hemellichaam plus de hoogte van de satelliet boven het oppervlak ($r = R_{hemellichaam} + h$).

De formule voor de middelpuntzoekende kracht ($F_{mpz}$) die nodig is om een voorwerp in een cirkelbaan te houden, is: $F_{mpz} = \frac{m v^2}{r}$ Hierin is:

• $m$ de massa van de satelliet in kilogram (kg)
• $v$ de baansnelheid van de satelliet in meter per seconde (m/s)
• $r$ de baanstraal in meter (m)

Omdat de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht levert, stellen we deze aan elkaar gelijk: $G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

We kunnen de massa van de satelliet ($m$) aan beide kanten wegstrepen en de formule herschrijven om $v$ te vinden: $G \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}$ $v^2 = G \frac{M}{r}$ $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Dit is de formule voor de baansnelheid van een satelliet.

Voorbeeld: Stel, een satelliet draait om de aarde op een hoogte van 600 km boven het aardoppervlak. Gegevens:

• Straal van de aarde ($R_a$) = $6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$
• Massa van de aarde ($M_a$) = $5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$
• Gravitatieconstante ($G$) = $6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$
• Hoogte ($h$) = 600 km = $600 \cdot 10^3 \text{ m}$

1. Bereken de baanstraal ($r$): $r = R_a + h = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 600 \cdot 10^3 \text{ m} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 0,600 \cdot 10^6 \text{ m} = 6,97 \cdot 10^6 \text{ m}$

2. Bereken de baansnelheid ($v$) met de formule: $v = \sqrt{\frac{G M_a}{r}}$ $v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2 \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{6,97 \cdot 10^6 \text{ m}}}$ $v = \sqrt{\frac{3,98199 \cdot 10^{14} \text{ N m}^2/\text{kg}}{6,97 \cdot 10^6 \text{ m}}}$ $v = \sqrt{5,71304 \cdot 10^7 \text{ m}^2/\text{s}^2}$ $v \approx 7,558 \cdot 10^3 \text{ m/s}$

De baansnelheid van de satelliet is dus ongeveer $7,56 \cdot 10^3 \text{ m/s}$ (of $7560 \text{ m/s}$).