Hoe bereken je de baansnelheid of ontsnappingssnelheid?

De baansnelheid en de ontsnappingssnelheid zijn twee verschillende concepten die te maken hebben met gravitatie.

Baansnelheid is de snelheid waarmee een object, zoals een satelliet, in een stabiele baan rond een ander hemellichaam beweegt. Deze snelheid is precies genoeg om in de baan te blijven zonder weg te vliegen of neer te storten.

Ontsnappingssnelheid is de minimale snelheid die een object nodig heeft om volledig te ontsnappen aan de gravitatiekracht van een hemellichaam, zonder dat er nog verdere aandrijving nodig is. Als een object deze snelheid bereikt, zal het blijven bewegen van het hemellichaam af en er nooit meer naar terugkeren.

De formules voor deze snelheden zijn:

1. Baansnelheid ($v_{baan}$): $v_{baan} = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ Hierin is:

• $G$ de gravitatieconstante ($6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$)
• $M$ de massa van het centrale hemellichaam (bijvoorbeeld de aarde) in kilogram (kg)
• $r$ de afstand van het middelpunt van het hemellichaam tot het middelpunt van het object in baan (de baanstraal) in meter (m). Dit is de straal van het hemellichaam plus de hoogte van het object boven het oppervlak ($r = R_{hemellichaam} + h$).

Voorbeeld baansnelheid: Stel, een satelliet draait om de aarde op een hoogte van 600 km boven het aardoppervlak. Gegevens:

• Straal van de aarde ($R_a$) = $6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$
• Massa van de aarde ($M_a$) = $5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$
• Gravitatieconstante ($G$) = $6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$
• Hoogte ($h$) = 600 km = $600 \cdot 10^3 \text{ m}$

1. Bereken de baanstraal ($r$): $r = R_a + h = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 600 \cdot 10^3 \text{ m} = 6,97 \cdot 10^6 \text{ m}$

2. Bereken de baansnelheid ($v_{baan}$) met de formule: $v_{baan} = \sqrt{\frac{G M_a}{r}}$ $v_{baan} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2 \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{6,97 \cdot 10^6 \text{ m}}}$ $v_{baan} \approx 7,56 \cdot 10^3 \text{ m/s}$

2. Ontsnappingssnelheid ($v_{ontsnapping}$): $v_{ontsnapping} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}$ Hierin is:

• $G$ de gravitatieconstante ($6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$)
• $M$ de massa van het hemellichaam waarvan je wilt ontsnappen (bijvoorbeeld de aarde) in kilogram (kg)
• $r$ de afstand vanaf het middelpunt van het hemellichaam tot het punt waar het object zich bevindt (meestal het oppervlak van het hemellichaam, dus de straal van het hemellichaam) in meter (m).

Voorbeeld ontsnappingssnelheid vanaf het aardoppervlak: Gegevens:

• Straal van de aarde ($R_a$) = $6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$
• Massa van de aarde ($M_a$) = $5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$
• Gravitatieconstante ($G$) = $6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$

1. Bereken de ontsnappingssnelheid ($v_{ontsnapping}$) met de formule: $v_{ontsnapping} = \sqrt{\frac{2 G M_a}{R_a}}$ $v_{ontsnapping} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2 \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{6,37 \cdot 10^6 \text{ m}}}$ $v_{ontsnapping} = \sqrt{\frac{7,96398 \cdot 10^{14} \text{ N m}^2/\text{kg}}{6,37 \cdot 10^6 \text{ m}}}$ $v_{ontsnapping} = \sqrt{1,2499 \cdot 10^8 \text{ m}^2/\text{s}^2}$ $v_{ontsnapping} \approx 1,118 \cdot 10^4 \text{ m/s}$

De ontsnappingssnelheid vanaf het aardoppervlak is dus ongeveer $11,2 \text{ km/s}$.