Hoe bereken ik het differentiequotiënt?

Question

JoJoschool · Accepted Answer

Het differentiequotiënt geeft de gemiddelde verandering van een functie over een bepaald interval aan. Het is de verhouding tussen de verandering in de functiewaarde (vaak de y-waarde) en de verandering in de variabele (vaak de x-waarde) over dat interval. Het wordt ook wel de gemiddelde verandering of de gemiddelde stijging/daling genoemd.

De formule voor het differentiequotiënt voor een functie $f(x)$ op een interval $[a, b]$ is:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

Hierbij staat:
*   $\Delta y$ voor de verandering in de functiewaarde (de y-coördinaat). Dit is het verschil tussen de functiewaarden op de twee punten: $f(b) - f(a)$.
*   $\Delta x$ voor de verandering in de variabele (de x-coördinaat). Dit is het verschil tussen de x-coördinaten van de twee punten: $b - a$.
*   $f(b)$ voor de functiewaarde op het eindpunt van het interval.
*   $f(a)$ voor de functiewaarde op het beginpunt van het interval.

**Stappen om het differentiequotiënt te berekenen:**

1.  **Bereken de functiewaarde op het eindpunt van het interval:** Vul de waarde van $b$ in de functie in om $f(b)$ te vinden.
2.  **Bereken de functiewaarde op het beginpunt van het interval:** Vul de waarde van $a$ in de functie in om $f(a)$ te vinden.
3.  **Bereken het verschil in functiewaarden ($\Delta y$):** Trek $f(a)$ af van $f(b)$.
4.  **Bereken het verschil in de variabele ($\Delta x$):** Trek $a$ af van $b$.
5.  **Bereken het differentiequotiënt:** Deel $\Delta y$ door $\Delta x$.

**Voorbeeld:**
Stel, je hebt een kostenformule $K = q^3 - 6q^2 + 13q + 15$, waarbij $K$ in duizenden euro's is en $q$ de productie in duizendtallen. Je wilt het differentiequotiënt berekenen op het interval $[4, 6]$.

Hier is:
*   De functie $f(q) = q^3 - 6q^2 + 13q + 15$.
*   Het interval $[a, b]$ is $[4, 6]$, dus $a = 4$ en $b = 6$.

Volg de stappen:

1.  **Bereken $K(6)$:** Vul $q=6$ in de kostenformule in.
    $K(6) = (6)^3 - 6(6)^2 + 13(6) + 15$
    $K(6) = 216 - 6(36) + 78 + 15$
    $K(6) = 216 - 216 + 78 + 15$
    $K(6) = 93$

2.  **Bereken $K(4)$:** Vul $q=4$ in de kostenformule in.
    $K(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 13(4) + 15$
    $K(4) = 64 - 6(16) + 52 + 15$
    $K(4) = 64 - 96 + 52 + 15$
    $K(4) = 35$

3.  **Bereken het verschil in kosten ($\Delta K$):**
    $\Delta K = K(6) - K(4) = 93 - 35 = 58$

4.  **Bereken het verschil in productie ($\Delta q$):**
    $\Delta q = 6 - 4 = 2$

5.  **Bereken het differentiequotiënt:**
    Differentiequotiënt = $\frac{\Delta K}{\Delta q} = \frac{58}{2} = 29$

**Interpretatie van de eenheid:**
Aangezien $K$ in duizenden euro's is en $q$ in duizendtallen, is het differentiequotiënt $29 \frac{	ext{duizend euro}}{	ext{duizend stuks}}$. Dit betekent dat de gemiddelde verandering van de kosten $29$ euro per stuk is over het interval van 4000 tot 6000 stuks.

Het differentiequotiënt van de kostenformule op het interval $[4, 6]$ is dus $29$ euro per stuk.

Hoe bereken ik het differentiequotiënt?

Hoe bereken ik het differentiequotiënt?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerde vragen