Wat is de formule voor de eindsnelheid in het kwadraat?

De formule voor de eindsnelheid in het kwadraat ($v_{eind}^2$) van een geladen deeltje dat versneld wordt door een elektrisch veld is: $v_{eind}^2 = \frac{2 \cdot Q \cdot U}{m} + v_{begin}^2$

Hierin staan de symbolen voor:

• $v_{eind}$: de eindsnelheid van het deeltje (in meters per seconde, m/s).
• $Q$: de lading van het deeltje (in Coulomb, C).
• $U$: de spanning waarover het deeltje versneld wordt (in Volt, V).
• $m$: de massa van het deeltje (in kilogram, kg).
• $v_{begin}$: de beginsnelheid van het deeltje (in meters per seconde, m/s).

Deze formule wordt gebruikt om de eindsnelheid van een geladen deeltje te berekenen wanneer het versneld wordt door een elektrisch veld, bijvoorbeeld in een condensator of deeltjesversneller.

Afleiding van de formule:

De formule is afgeleid uit het principe van energiebehoud. Dit principe stelt dat de totale energie in een gesloten systeem constant blijft. In dit geval wordt elektrische energie omgezet in kinetische energie.

1. Energiebehoudsprincipe: De verandering in kinetische energie ($\Delta E_{kin}$) is gelijk aan de verandering in elektrische energie die het deeltje opneemt of afgeeft. Dit kan worden uitgedrukt als: $E_{kin,eind} = Q \cdot U + E_{kin,begin}$ Hierbij is $E_{kin,eind}$ de kinetische energie aan het einde en $E_{kin,begin}$ de kinetische energie aan het begin. De term $Q \cdot U$ staat voor de elektrische energie die het deeltje verkrijgt door de spanning $U$ en de lading $Q$.

2. Vervang energietermen door hun formules: We kennen de formules voor kinetische energie ($E_{kin}$) en de elektrische energie ($E_{elek}$ of het werk verricht door het elektrische veld):

   • Kinetische energie: $E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2$
   • Elektrische energie: $E_{elek} = Q \cdot U$

   Als we deze formules invullen in de energiebehoudsvergelijking, krijgen we: $\frac{1}{2} m v_{eind}^2 = Q \cdot U + \frac{1}{2} m v_{begin}^2$

3. Isoleer $v_{eind}^2$: Om $v_{eind}^2$ aan één kant van de vergelijking te krijgen, voeren we de volgende algebraïsche stappen uit:

   • Vermenigvuldig de hele vergelijking met 2: $2 \cdot \left(\frac{1}{2} m v_{eind}^2\right) = 2 \cdot (Q \cdot U) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} m v_{begin}^2\right)$ Dit vereenvoudigt tot: $m v_{eind}^2 = 2 Q U + m v_{begin}^2$

   • Deel de hele vergelijking door $m$ (de massa): $\frac{m v_{eind}^2}{m} = \frac{2 Q U}{m} + \frac{m v_{begin}^2}{m}$ Dit resulteert in de formule voor $v_{eind}^2$: $v_{eind}^2 = \frac{2 Q U}{m} + v_{begin}^2$

Zo zie je hoe de formule voor de eindsnelheid in het kwadraat wordt afgeleid uit de basisprincipes van energiebehoud.