Hoe leid je de formule voor de eindsnelheid af?

De formule voor de eindsnelheid in het kwadraat, $v_{eind}^2 = \frac{2 \cdot Q \cdot U}{m} + v_{begin}^2$, wordt afgeleid uit het principe van energiebehoud. Dit principe stelt dat de totale energie in een gesloten systeem constant blijft. In dit geval wordt elektrische energie omgezet in kinetische energie.

De afleiding gaat als volgt:

1. Begin met het principe van energiebehoud: De verandering in kinetische energie ($\Delta E_{kin}$) is gelijk aan de verandering in elektrische energie ($\Delta E_{elek}$), maar met een tegengesteld teken, omdat de ene energievorm in de andere wordt omgezet. Dit kan worden uitgedrukt als: $\Delta E_{kin} = -\Delta E_{elek}$ Dit betekent dat de kinetische energie aan het einde ($E_{kin,eind}$) gelijk is aan de kinetische energie aan het begin ($E_{kin,begin}$) plus de elektrische energie die is toegevoegd ($Q \cdot U$): $E_{kin,eind} = Q \cdot U + E_{kin,begin}$

2. Vervang de energietermen door hun formules:

   • Kinetische energie ($E_{kin}$) bereken je met de formule $E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2$.
   • Elektrische energie ($E_{elek}$) die wordt omgezet door een spanning ($U$) en lading ($Q$) is $Q \cdot U$.

   Als we deze formules invullen in de vergelijking $E_{kin,eind} = Q \cdot U + E_{kin,begin}$, krijgen we: $\frac{1}{2} m v_{eind}^2 = Q \cdot U + \frac{1}{2} m v_{begin}^2$

3. Isoleer $v_{eind}^2$ door algebraïsche stappen: Om $v_{eind}^2$ te isoleren, moeten we de $\frac{1}{2}m$ aan de linkerkant wegwerken.

   • Vermenigvuldig de hele vergelijking met 2: $2 \cdot \left(\frac{1}{2} m v_{eind}^2\right) = 2 \cdot (Q \cdot U) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} m v_{begin}^2\right)$ Dit vereenvoudigt tot: $m v_{eind}^2 = 2 Q U + m v_{begin}^2$

   • Deel de hele vergelijking door $m$: $\frac{m v_{eind}^2}{m} = \frac{2 Q U}{m} + \frac{m v_{begin}^2}{m}$ En dan krijg je de uiteindelijke formule voor $v_{eind}^2$: $v_{eind}^2 = \frac{2 Q U}{m} + v_{begin}^2$

Hierin staat:

• $v_{eind}$ voor de eindsnelheid (in meter per seconde, m/s).
• $Q$ voor de lading van het deeltje (in Coulomb, C).
• $U$ voor de spanning waarover het deeltje versneld wordt (in Volt, V).
• $m$ voor de massa van het deeltje (in kilogram, kg).
• $v_{begin}$ voor de beginsnelheid van het deeltje (in meter per seconde, m/s).

Deze formule wordt gebruikt om de eindsnelheid van een geladen deeltje te berekenen wanneer het versneld wordt door een elektrisch veld, bijvoorbeeld in een condensator of deeltjesversneller.