Hoe bereken je de eindwaarde bij samengestelde interest met een gat op de lijn?

Het berekenen van de eindwaarde bij samengestelde interest met een 'gat op de lijn' betekent dat de laatste storting nog een aantal periodes rente ontvangt voordat de uiteindelijke eindwaarde wordt berekend. Dit is een veelvoorkomende situatie bij annuïteiten of periodieke stortingen.

Om dit te berekenen, volg je de volgende stappen:

1. Teken een tijdlijn: Dit is de belangrijkste stap. Een tijdlijn helpt je om te visualiseren wanneer de stortingen plaatsvinden en wanneer de eindwaarde precies berekend moet worden. Zo zie je het 'gat' duidelijk voor je en kun je het aantal periodes correct tellen.

2. Bepaal het aantal stortingen ($n$): Dit is het totale aantal keren dat er een bedrag wordt gestort.

3. Bepaal de renteperiode van de laatste storting: Dit is het aantal periodes dat de laatste storting nog rente trekt tot de einddatum waarop de eindwaarde wordt berekend. Dit is het 'gat op de lijn'.

4. Gebruik de somformule voor de eindwaarde van een reeks stortingen: De algemene formule voor de eindwaarde ($E$) van een reeks gelijke stortingen ($C$) met samengestelde interest is: $E = C \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i)^k$

   Hierin is:

   • $E$ de eindwaarde
   • $C$ het bedrag van elke periodieke storting
   • $i$ het rentepercentage per periode (in decimale vorm, bijvoorbeeld 4% is 0,04)
   • $n$ het aantal stortingen (het aantal termijnen)
   • $k$ het aantal periodes dat de laatste storting nog rente trekt tot de einddatum (het 'gat op de lijn')

   De term $\frac{(1+i)^n - 1}{i}$ berekent de eindwaarde van de reeks stortingen op het moment van de laatste storting. De term $(1+i)^k$ zorgt ervoor dat deze totale waarde nog verder wordt opgerent over het 'gat op de lijn'.

Voorbeeld: Stel, je krijgt elk jaar € 20.000 gestort van 1 januari 2020 tot 1 januari 2024, met een samengestelde rente van 4% per jaar. De eindwaarde moet je berekenen op 1 januari 2027.

• Stap 1: Tijdlijn visualiseren Stortingen: 1 jan 2020, 1 jan 2021, 1 jan 2022, 1 jan 2023, 1 jan 2024. Einddatum: 1 jan 2027.

• Stap 2: Aantal stortingen ($n$) bepalen Van 1 januari 2020 tot 1 januari 2024 zijn er 5 stortingen gedaan (2020, 2021, 2022, 2023, 2024). Dus, $n = 5$.

• Stap 3: Renteperiode van de laatste storting ($k$) bepalen De laatste storting is op 1 januari 2024. De eindwaarde wordt berekend op 1 januari 2027. Het aantal jaren tussen 1 januari 2024 en 1 januari 2027 is 3 jaar (2024-2025, 2025-2026, 2026-2027). Dus, $k = 3$.

• Stap 4: Bereken de eindwaarde met de formule Gegeven:

  • $C = € 20.000$
  • $i = 4\% = 0,04$
  • $n = 5$
  • $k = 3$

  $E = 20.000 \cdot \frac{(1+0,04)^5 - 1}{0,04} \cdot (1+0,04)^3$ $E = 20.000 \cdot \frac{(1,04)^5 - 1}{0,04} \cdot (1,04)^3$ $E = 20.000 \cdot \frac{1,2166529 - 1}{0,04} \cdot 1,124864$ $E = 20.000 \cdot \frac{0,2166529}{0,04} \cdot 1,124864$ $E = 20.000 \cdot 5,4163225 \cdot 1,124864$ $E = 108.326,45 \cdot 1,124864$ $E \approx € 121.854,82$

De eindwaarde op 1 januari 2027 is dus ongeveer € 121.854,82.