Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat het verschil en de samenhang is tussen macht, grondtal en exponent.
•Je kunt rekenen met machten met een positief grondtal.
•Je kunt rekenen met machten met een negatief grondtal.
•Je kunt rekenen met machten met een positieve exponent.
•Je kunt rekenen met machten met een negatieve exponent.
•Je kunt de rekenvolgorde toepassen in opdrachten met machten.
Wat is een macht?
Een macht is een manier om een getal meerdere keren met zichzelf te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld,3^2betekent dat je3twee keer met zichzelf vermenigvuldigt:3\cdot3=9. Dit kan ook worden uitgedrukt als “3tot de macht2” of “3in het kwadraat”. Als de exponent groter is dan2, zeg je altijd "tot de macht", zoals in3tot de macht4, dus3\cdot3\cdot3\cdot3=81.
Grondtal en exponent
In een macht, zoals3^4, is3het grondtal en4de exponent. Het grondtal is het getal dat je herhaaldelijk vermenigvuldigt, en de exponent geeft aan hoe vaak je dat doet. Het grondtal staat als het ware op de grond, terwijl de exponent het "vliegende getalletje" is.
Machten met een negatief grondtal
Bij machten met een negatief grondtal, zoals(-3)^2, vermenigvuldig je het negatieve getal met zichzelf. Dus(-3)\cdot(-3)=9. Maar bij(-3)^3krijg je(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27. Hieruit kun je concluderen dat als de exponent even is, de uitkomst positief is, en als de exponent oneven is, de uitkomst negatief is. Let op de haakjes rond negatieve grondtallen, zo is-3^2gelijk aan-9, omdat-3niet tussen haakjes staat. Je doet dan-3^2=-\left(3^2\right)=-9.
Machten met een negatieve exponent
Een negatieve exponent betekent dat je het grondtal in de noemer van een breuk plaatst. Bijvoorbeeld,2^{-3}is gelijk aan\frac{1}{2^3}=\frac18. Dit geldt voor elk getal a, met a ongelijk aan0:a^{-n}{}=\frac{1}{a^{n}}. Verder geldt voor elk getal a (met a ongelijk aan0) data^0=1.
Rekenvoorbeelden
In de rekenvolgorde komen machten na haakjes en worden ze samen met kwadraten en wortels berekend, vóór vermenigvuldigen en delen.
Voorbeeld 1:4+3\cdot2^5
Bereken eerst de macht:2^5=32.
Vermenigvuldig:3\cdot32=96.
Tel op:4 + 96 = 100.
Voorbeeld 2:2\cdot\left(\frac15\right)^3
Bereken de macht:\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=\frac{1}{125}.
Vermenigvuldig:2\cdot\frac{1}{125}=\frac{2}{125}.
Voorbeeld 3:\left(8-6\right)^{-3}
Bereken binnen de haakjes:8 - 6 = 2.
Maak de exponent positief:\frac{1}{2^3}=\frac18.
Voorbeeld 4:(\frac13)^{-4}
Maak eerst de exponent positief:\frac{1}{\left(\frac13\right)^4}.
Verdeel de macht over de breuk:\frac{1}{\frac{1^4}{3^4}}.
Reken de machten uit:\frac{1}{\frac{1}{81}}.
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:1\cdot\frac{81}{1}=81.
Een snellere manier is om de breuk om te draaien en de exponent positief te maken:\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81.
