Wortelvergelijkingen oplossen

Wat zijn wortelvergelijkingen?

Een wortelvergelijking is een vergelijking waarin een onbekende (meestal x) onder een wortelteken staat. Een voorbeeld van een wortelvergelijking is\sqrt{3x-4}=4\sqrt{3x-}=4\sqrt{3x}=4\sqrt3=4\sqrt{\placeholder{}}=4=4s=4sq=4sqr=4sqrt=4sqrt=4sqr=4sq=4s=4sr=4s=4=4W=4=4\surd=4\surd(=4\surd(3=4\surd(3x=4\surd(3x-=4\surd(3x-2=4. Het doel bij het oplossen van deze vergelijking is om de waarde van xte vinden die de vergelijking waarmaakt.

Functies en snijpunten

Bij het oplossen van een wortelvergelijking kun je de wortel beschouwen als een functie. In ons voorbeeld kun je de functies als volgt definiëren:

f(x)=\sqrt{3x-2}f(x)=3x-2f(x)=3x-2)f(x)=(3x-2)

We zijn op zoek naar het snijpunt van deze functies. Dit houdt in dat we de -coördinaat van het snijpunt willen bepalen. In grafische termen betekent dit dat we twee lijnen tekenen en de -waarde zoeken waar ze elkaar kruisen.

Het domein van de functie

Voordat we de vergelijking oplossen, is het nuttig om te weten wat het domein is van de functie . Het domein is de verzameling van mogelijke waarden voor x waarvoor de functie gedefinieerd is.

Voor f(x)=\sqrt{(3x-2)}f(x)=\surd\sqrt{(3x-2)} moet de inhoud van de wortel groter dan of gelijk aan zijn:

Dit leidt tot:

3x\geq2\Rightarrow x\geq\frac{2}{3}

Dus, het domein vanis van tot aan oneindig. D_{f}=\left\lbrack\frac23,\to>\right..D_{f}=\left\lbrack\frac23,\to>\right.D_{f}=\left\lbrack\frac23,\to\right.D_{f}=\left\lbrack\frac23,\to\right\rbrackD_{f}=\left\lbrack\frac23,-\right\rbrackD_{f}=\left\lbrack\frac23,\right\rbrackD_{f}=\left\lbrack\frac23\right\rbrackD_{f}=\left\lbrack\frac{2}{\placeholder{}}\right\rbrackD_{f}=\left\lbrack2\right\rbrackD_{f}=\left\lbrack\right\rbrackD_{f}=D_{f}D_{f0}D_{f}D

Het bereik van de functie

Het bereik van de functie (de mogelijke uitkomsten van ) kan ook worden bepaald. Voorf\left(x\right)=\sqrt{3x-2}f\left(x\right)=3x-2f\left(x\right)=\surd3x-2f\left(x\right)=\surd(3x-2\left(x\right)=\surd(3x-2x)=\surd(3x-29x)=\surd(3x-2x)=\surd(3x-2x=\surd(3x-2, als we x=\frac{2}{3}invullen, krijgen we 0. Aangezien de wortel altijd positief of nul is, is het bereik van van tot plus oneindig. B_{f}=\left\lbrack0{,}\to>\right..B_{f}=\left\lbrack0{,}\to>\right.B_{f}=\left\lbrack0{,}\to\right.B_{f}=\left\lbrack0{,}\to\right\rbrackB_{f}=\left\lbrack0{,}-\right\rbrackB_{f}=\left\lbrack0{,}\right\rbrackB_{f}=\left\lbrack0\right\rbrackB_{f}=\left\lbrack\right\rbrackB_{f}=B_{f}B

Oplossen van de vergelijking

Nu gaan we de wortelvergelijking \sqrt{3x-2}=43x-2=4(3x-2=4oplossen.

Stap 1: Kwadrateren

Om de wortel te elimineren, kwadrateer je beide zijden van de vergelijking:

\left(\sqrt{3x-2}\right)^2=4^2\sqrt{3x-2})^2=4^2\left(\right.\sqrt{3x-2})^2=4^2\left(\right.\sqrt{3x-2})^2=4^2\left(\right.\sqrt{3x-2})^2=4^2\left(\right.\sqrt{3x-2})^2=4^2\left(\right.3x-2)^2=4^2\left(\right.3x-2)^2=4^2\left(\right)3x-2)^2=4^2\left(\right)3x-2^2=4^23x-2^2=4^2\surd3x-2^2=4^2\surd(3x-2^2=4^2\surd(3x-2)^2=4^2

Dit resulteert in:

x=6x=xc

De x-coördinaat van het snijpunt van de functies en is dus .

Controle van de oplossing

Het is belangrijk om je oplossing te controleren door de waarde van terug te substitueren in de oorspronkelijke vergelijking.

Substitutie controle: Vervang door in de oorspronkelijke vergelijking:

\sqrt{3\cdot6-2}=43\cdot6-2=43\cdot6-2)=4(3\cdot6-2)=4(36-2)=4(3(6-2)=4(3(6)-2)=4

Dat wordt:

\sqrt{18-2}=418-2=4\surd18-2=4\surd18-2)=4

\sqrt{16}=4\surd\sqrt{16}=4, wat klopt.

Door deze controle weet je zeker dat je de juiste oplossing hebt gevonden.

Belang van controle

Bij het oplossen van wortelvergelijkingen is controle van je antwoorden cruciaal. Soms kan het kwadrateren leiden tot extra oplossingen die niet geldig zijn. Het is altijd goed om de verkregen waarde weer in de originele vergelijking te verifiëren.