Leerdoelen
•Je weet wat hogeregraadsvergelijkingen zijn
•je kunt hogeregraadsvergelijkingen exact oplossen
Wat zijn hogeregraadsvergelijkingen?
Een hogeregraadsvergelijking is een vergelijking waarbij de hoogste macht van de onbekende variabele groter is dan twee. In tegenstelling tot kwadratische vergelijkingen, die we vaak oplossen met de som-product-methode of de ABC-formule, vereisen hogeregraadsvergelijkingen soms andere technieken.
Voorbeeld 1: Derdegraadsvergelijking
Laten we beginnen met een voorbeeld:
Stap 1: Ontbinden in factoren
Bij deze vergelijking valt op dat elke term een x bevat. Dit betekent dat we een x buiten haakjes kunnen halen:
Stap 2: Oplossen van de ontbonden vergelijking
Nu hebben we een product van factoren dat gelijk is aan nul. Dit betekent dat een van de factoren nul moet zijn:
De tweede vergelijking is een kwadratische vergelijking die we kunnen oplossen met de som-product-methode:
Hieruit volgen de oplossingen:
Voorbeeld 2: Vierdegraadsvergelijking
Een andere interessante vergelijking is:
Stap 1: Substitutie
Omdat de laatste term geen x bevat, kunnen we geen x buiten haakjes halen. We merken echter op dat de exponenten van de termen een verhouding van 2:1 hebben. Dit stelt ons in staat om substitutie te gebruiken:
Laat. Dan wordt de vergelijking:
Stap 2: Oplossen van de kwadratische vergelijking
We lossen deze kwadratische vergelijking op met de som-product-methode:
Dit geeft:
Omdat, vervangen we terug:
geeftof
heeft geen reële oplossingen
Niet-oplosbare vergelijkingen
Sommige vergelijkingen lijken op de bovenstaande voorbeelden, maar zijn niet oplosbaar met dezelfde methoden. Bijvoorbeeld:
In dit geval kunnen we geen x buiten haakjes halen en de exponenten zijn niet in een verhouding van 2:1, waardoor substitutie niet mogelijk is.
Complexere voorbeelden
Een complexere vergelijking is:
Stap 1: Substitutie
Hier kunnen westellen, omdat de exponenten een verhouding van 2:1 hebben:
Stap 2: Oplossen
Oplossen met de som-product-methode geeft:
Terugvervangen geeft:
geeft
geeft de derde machtswortel van -4
Oefeningen
Oefening 1
Los exact op:
Oplossing
Breng alle termen naar één kant:
Gebruik substitutie:
Los de kwadratische vergelijking op:en kom uit opx=\sqrt8\vee x=-\sqrt8x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=x=\sqrt8\vee xx=\sqrt8\veex=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8\vx=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=\sqrt{}x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x
Oefening 2
Los algebraïsch op:
Oplossing
Breng alle termen naar één kant:
Haalbuiten haakjes:
Los de kwadratische vergelijking op:en kom uit opx=0\vee x=9\vee x=4x=0\vee x=9\vee x=x=0\vee x=9\vee xx=0\vee x=9\veex=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=x=0\vee x=8x=0\vee x=x=0\vee xx=0\veex=0x=0x=0x=0x=0x=x
