Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat hogeremachtswortels zijn.
•Je kunt uitleggen wat hogeregraadsvergelijkingen zijn.
•Je kunt hogeregraadsvergelijkingen oplossen met hogeremachtswortels.
Wat zijn hogeremachtswortels?
Een machtswortel is een getal dat, wanneer het een bepaald aantal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, een gegeven getal oplevert. De meest bekende machtswortel is de tweede machtswortel, vaak simpelweg de wortel genoemd. Bijvoorbeeld, de wortel van 9 is 3, omdat 3 keer 3 gelijk is aan 9. Deze wortel wordt ook wel de tweede machtswortel genoemd, hoewel de 2 meestal niet wordt geschreven.
Oplossen van vergelijkingen met machtswortels
Wanneer je een vergelijking zoalsx^2=9x=9x^=9wilt oplossen, zoek je naar de punten waar de grafiek van de functiey=x^2y=xy=x^de lijn snijdt. Dit levert twee oplossingen op: en . Dit komt omdat de exponent 2 even is, wat betekent dat er zowel een positieve als een negatieve oplossing is.
Derde machtswortel
De derde machtswortel van een getal is het getal dat, wanneer het drie keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, het oorspronkelijke getal oplevert. Bijvoorbeeld, de derde machtswortel van 8 is 2, omdat 2 keer 2 keer 2 gelijk is aan 8. Bij een vergelijking zoals x^3=8x=8x{3}=8, is er slechts één oplossing, namelijk 2, omdat de exponent 3 oneven is.
Voorbeelden van hogeregraadsvergelijkingen:
Opdracht 1: Oplossen van
Begin met de vergelijking: 3x^5+18=63x+18=63x^+18=6.
Verwijder de constante term door 18 van beide zijden af te trekken: 3x^{^5}=-123x^{}=-12.
Deel beide zijden door 3 omx^5xx^x⁵ te isoleren: x^{^5}=-4x^{}=-4.
Neem de vijfde machtswortel van -4. Omdat de exponent 5 oneven is, is er een oplossing: .
Opdracht 2: Oplossen van \frac18(2x-1)^{^4}+9=41\frac18(2x-1)^{}+9=41\frac18(2x-1)^{4}+9=41\frac{1}{\placeholder{}}(2x-1)^{4}+9=411(2x-1)^{4}+9=41(2x-1)^{4}+9=411(2x-1)^{4}+9=411/(2x-1)^{4}+9=41
Begin met de vergelijking: \frac18(2x-1)^{4}+9=41\frac{1}{\placeholder{}}(2x-1)^{4}+9=411(2x-1)^{4}+9=41.
Verwijder de constante term door 9 van beide zijden af te trekken: \frac18(2x-1)^{4}=32\frac{1}{\placeholder{}}(2x-1)^{4}=321(2x-1)^{4}=32(2x-1)^{4}=321(2x-1)^{4}=321/(2x-1)^{4}=32.
Vermenigvuldig beide zijden met 8 om de breuk te verwijderen: (2x-1)^4=256(2x-1)=256(2x-1)^=256.
Neem de vierde machtswortel van 256. Omdat de exponent 4 even is, zijn er twee oplossingen: en .
Los de lineaire vergelijkingen op: of .
