Verdubbelingstijd en halveringstijd

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Het begrip verdubbelingstijd gaat over de tijd die nodig is om een hoeveelheid te verdubbelen, terwijl de halveringstijd de tijd is die nodig is om een hoeveelheid te halveren. Zowel de verdubbelingstijd als de halveringstijd worden in combinatie met de groeifactor gebruikt om te berekenen na hoeveel tijd de beginhoeveelheid is verdubbeld of gehalveerd.

Verdubbelingstijd

Voorbeeld 1a

Stel je hebt een beginhoeveelheid van 25 die jaarlijks toeneemt met 13%. We willen de verdubbelingstijd in maanden berekenen.

Groeifactor: Aangezien we met 13% stijgen, is de groeifactor: 1 + 0,13 = 1,13.

Verdubbeling: We willen weten wanneer deze hoeveelheid 50 wordt. We stellen de vergelijking op: 25\cdot\left(1{,}13\right)^{t}=5025\cdot\left(1{,}13^{t}=50\right)25\cdot1{,}13^{t}=5025\cdot1{,}13^{t}=525\cdot1{,}13^{t}=25\cdot1{,}13^{t}25\cdot1{,}1325\cdot1{,}125\cdot1{,}25\cdot125\cdot2525252525252

We delen beide zijden door 25: \left(1{,}13\right)^{t}=2\left(113\right)^{t}=2\left(1.13\right)^{t}=2(1.13^{t}=2

Omtte vinden gebruiken we een grafische rekenmachine (GR). Voer in:

y1:1{,}13^{x}y1:113^{x}

Kies de optie intersect (snijpunt) en je vindt: x\approx5{,}6714x\approx56714

Dit betekent dat de verdubbelingstijd 5 jaar en ongeveer 8 maanden is.

Dit is berekend op de volgende manier:0{,}6714\times12\approx806714\times12\approx80m6714\times12\approx806714\times12\approx8maanden

Voorbeeld 1b

Stel je hebt een beginhoeveelheid van 36, ook met een jaarlijkse stijging van 13%. Dit geeft dezelfde groeifactor en leidt tot:

(1{,}13)^{t}=2(113)^{t}=2

Net als in het vorige voorbeeld, is de beginhoeveelheid irrelevant; de verdubbelingstijd blijft hetzelfde.

Halveringstijd

Voorbeeld 2a

Neem een beginhoeveelheid van 40, die jaarlijks afneemt met 8%. We moeten de halveringstijd berekenen.

Groeifactor: De groeifactor is: 1 - 0,08 = 0,92.

Halvering: De vergelijking wordt: 40\cdot(0{,}92)^{t}=2040\cdot(092)^{t}=20

Delen door 40: (0{,}92)^{t}=0{,}5(0{,}92)^{t}=05(0{,}92)^{t}=0.5(092)^{t}=0.5(0m92)^{t}=0.5(092)^{t}=0.5

Voer in de GR in:

y1:0{,}92^{x}y1:092^{x}

y2:0{,}5y2:05

Intersect geeft je: x\approx8{,}3129x\approx83129

Dit betekent dat de halveringstijd ongeveer 8 jaar en 4 maanden is.

Voorbeeld 2b

Met een beginhoeveelheid van 32 die ook met 8% afneemt, kom je weer uit op dezelfde soort vergelijking. De halveringstijd blijft dus gelijk, ongeacht de beginhoeveelheid.

Opdrachten

Opdracht 1

Een hoeveelheid neemt wekelijks met 11,5% toe. Wat is de verdubbelingstijd in dagen?

Groeifactor: 1 + 0,115 = 1,115.

De vergelijking: (1{,}115)^{t}=2(1115)^{t}=2

Voer de waarden in:

y1:1{,}115^{x}y1:1115^{x}

Intersect geeft: x\approx6{,}3676x\approx63676

Dit komt neer op ongeveer 6 weken en 3 dagen.

Opdracht 2

Stel dat een hoeveelheid elke 7 jaar halveert. Hoeveel procent neemt het per jaar af?

Groeifactor: We stellen: g^7=0{,}5g^7=05

Omte vinden: g=(0{,}5)^{\frac{1}{7}}\approx0{,}9057g=(0{,}5)^{\frac{1}{7}}\approx09057g=(0{,}5)^{\frac{1}{7}}\approx0.9057g=(05)^{\frac{1}{7}}\approx0.9057

De procentuele afname per jaar is: 1-0{,}9057=0{,}0943\text{ of }9{,}4\%1-0{,}9057=0{,}0943\text{ of }94\%1-0{,}9057=0{,}0943\text{ of }9.4\%1-0{,}9057=00943\text{ of }9.4\%1-0{,}9057=0.0943\text{ of }9.4\%1-09057=0.0943\text{ of }9.4\%1-0.9057=0.0943\text{ of }9.4\%

De afname is 9,4% per jaar.