Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

Leerdoelen:

•Je kunt een optimaliseringsprobleem bij grafieken oplossen.

Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

We hebben de functieen een rechthoekmetpals coördinaat(p,0).((p,0).We willen de waarde vanvinden waarvoor de oppervlakte van de rechthoek maximaal is.

Snijpunten met dex\textbf{-as}xxxxxxxxxxxxx

Om de rechthoek te optimaliseren, moeten we eerst de snijpunten vanmet dex\text{-as}x\text{-a}x\text{-}x\text{-a}x\text{-as}xxxxxxxxxxxvinden. Dit doen we doorop te lossen:

Werk de breuk weg door te vermenigvuldigen met-3:x^2-6x=0-3:x^2-6x=0]

Haalbuiten de haakjes:

De snijpunten zijnenx=6.(x=6.De afstand tussen de snijpunten op deis dus

Berekenen van de oppervlakte

Lengte van

De lengte vankan worden uitgedrukt inp:p\text{p}\text{p:}\text{p}PQ=6-2p.Hier kom je op door te kijken naar lijnstukDe lengte vanis de totale lengte die het kan zijn, dit hebben we berekend en isVan deze maximale lengte moeten nog de twee stukjes af die links van punten rechts van puntliggen. De lengte van een zo'n stukje isen omdat de twee stukjes dezelfde lengte hebben, is de vergelijking voor de lengte van lijnstukPQ=6-2p.PQ6-2p.P6-2p.

Hoogte van

De hoogte vanPSis dey\text{-coördinaat}y\text{-coördinaat}y\text{-coordinaat}y\text{-coordinaata}y\text{-coordinaatas}y\text{-coordinaaas}y\text{-coordinaas}y\text{-coordinas}y\text{-coordias}y\text{-coordas}y\text{-cooras}y\text{-cooas}y\text{-coas}y\text{-cas}y\text{-as}van puntdat op de grafiek vanligt. Vulin de functie in:

Oppervlakte van de rechthoek

De oppervlaktevan de rechthoek is:A=(6-2p)\cdot\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)

Werk de haakjes uit:A=\frac23p^3-6p^2+12pA=\frac23p-6p^2+12pA=\frac23-6p^2+12pA=\frac{2p}{3}-6p^2+12pA=\frac{2p^{}}{3}-6p^2+12pA=\frac{2p^3}{3}-6p^2+12pA=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+12pA=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+12A=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+1A=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+A=-\frac{2p^3}{3}-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+1-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12p-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12p-p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12p-4p^2A=-\frac{2p^3}{3}3+12p-4p^2A=-\frac{2p^3}{\placeholder{}}3+12p-4p^2A=-2p^33+12p-4p^2

Optimaliseren van de oppervlakte

Afgeleide van de oppervlakte

Om de maximale oppervlakte te vinden, berekenen we de afgeleide vanen stellen we deze gelijk aan0:A^{\prime}=2p^2-12p+120:A^{\prime}=-2p^2-12p+120:A^{\prime}=-2p^2-12p+10:A^{\prime}=-2p^2-12p+0:A^{\prime}=-2p^2-12p0:A^{\prime}=-2p^2-12p0:A^{\prime}=-2p^2-1p0:A^{\prime}=-2p^2-p0:A^{\prime}=-2p^2-8p0:A^{\prime}=-2p^2+-8p0:A^{\prime}=-2p^2+1-8p0:A^{\prime}=-2p^2+12-8p0:[A^{\prime}=-2p^2+12-8p

Stel de afgeleide gelijk aan0:2p^2-12p+12=00:-2p^2-12p+12=00:-2p^2-1p+12=00:-2p^2-p+12=00:-2p^2-8p+12=00:-2p^2-8p+12=0]

Oplossen van de vergelijking

De vergelijking kan worden vereenvoudigd door te delen door2:p^2-6p+6=02:p^2-6p6=02:p^2-6p-6=02:p^26p-6=02:p^2+6p-6=0-2:p^2+6p-6=0-2:p^2+p-6=0-2:p^2+4p-6=0-2:p^2+4p-6=0]

Gebruik de abc-formule om p te vinden:

Meta=1,b=-6,a=1,b=6,a=1,b=,a=1,b=4,a=1,b=4),a=1,(b=4),(a=1,(b=4),enc=6,c=-6,(c=-6,vinden we:p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt1}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt6}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{3624}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt6}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt4}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{3+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{1+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-\pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrowp=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightp=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2},

Vereenvoudig de wortel:p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt3p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt{}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt1p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=-\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt{}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt1}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{\pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-\pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2},p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}]p=-2\pm\sqrt{10}

Geldige waarde van

Omdattussenenmoet liggen, is de geldige oplossing:p=3-\sqrt3p=3-\sqrt{}p=3-\sqrt1p=3-\sqrt{10}p=3\sqrt{10}p=3+\sqrt{10}p=+\sqrt{10}p=-+\sqrt{10}

Voor deze waarde vanis de oppervlakte van de rechthoekmaximaal.