Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken
We hebben de functieen een rechthoek PQRS met P als coördinaat(p,0).((p,0).We willen de waarde van p vinden waarvoor de oppervlakte van de rechthoek maximaal is.
Snijpunten met de x-as
Om de rechthoek te optimaliseren, moeten we eerst de snijpunten vanmet de x-as vinden. Dit doen we doorop te lossen:
Werk de breuk weg door te vermenigvuldigen met-3:x^2-6x=0-3:x^2-6x=0]
Haalbuiten de haakjes:
De snijpunten zijnenx=6.(x=6.Dit betekent dat de maximale lengte van PQ6kan zijn.
Berekenen van de oppervlakte
Lengte van PQ
De lengte van PQ kan worden uitgedrukt in p:PQ=6-2p.Hier kom je op door te kijken naar lijnstuk PQ. De lengte van PQ is de totale lengte die het kan zijn, dit hebben we berekend en isVan deze maximale lengte moeten nog de twee stukjes af die links van punt P en rechts van punt Q liggen. De lengte van een zo'n stukje is p, en omdat we de twee stukjes dezelfde lengte hebben is de vergelijking voor de lengte van lijnstuk PQ
Hoogte van PS
De hoogte van PS is de y-coördinaat van punt S, dat op de grafiek van f ligt. Vul p in de functie f in:
Oppervlakte van de Rechthoek
De oppervlakte A van de rechthoek is:A=(6-2p)\cdot\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)A=(6-2p)\left(-\frac{1}{3}p^2+2p\right)
Werk de haakjes uit:A=\frac23p^3-6p^2+12pA=\frac23p-6p^2+12pA=\frac23-6p^2+12pA=\frac{2p}{3}-6p^2+12pA=\frac{2p^{}}{3}-6p^2+12pA=\frac{2p^3}{3}-6p^2+12pA=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+12pA=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+12A=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+1A=-\frac{2p^3}{3}-6p^2+A=-\frac{2p^3}{3}-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+1-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12p-6p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12p-p^2A=-\frac{2p^3}{3}+12p-4p^2A=-\frac{2p^3}{3}3+12p-4p^2A=-\frac{2p^3}{\placeholder{}}3+12p-4p^2A=-2p^33+12p-4p^2
Optimaliseren van de oppervlakte
Afgeleide van de oppervlakte
Om de maximale oppervlakte te vinden, berekenen we de afgeleide van A en stellen we deze gelijk aan0:A^{\prime}=2p^2-12p+120:A^{\prime}=-2p^2-12p+120:A^{\prime}=-2p^2-12p+10:A^{\prime}=-2p^2-12p+0:A^{\prime}=-2p^2-12p0:A^{\prime}=-2p^2-12p0:A^{\prime}=-2p^2-1p0:A^{\prime}=-2p^2-p0:A^{\prime}=-2p^2-8p0:A^{\prime}=-2p^2+-8p0:A^{\prime}=-2p^2+1-8p0:A^{\prime}=-2p^2+12-8p0:[A^{\prime}=-2p^2+12-8p
Stel de afgeleide gelijk aan0:2p^2-12p+12=00:-2p^2-12p+12=00:-2p^2-1p+12=00:-2p^2-p+12=00:-2p^2-8p+12=00:-2p^2-8p+12=0]
Oplossen van de vergelijking
De vergelijking kan worden vereenvoudigd door te delen door2:p^2-6p+6=02:p^2-6p6=02:p^2-6p-6=02:p^26p-6=02:p^2+6p-6=0-2:p^2+6p-6=0-2:p^2+p-6=0-2:p^2+4p-6=0-2:p^2+4p-6=0]
Gebruik de abc-formule om p te vinden:
Meta=1,b=-6,a=1,b=6,a=1,b=,a=1,b=4,a=1,b=4),a=1,(b=4),(a=1,(b=4),enc=6,c=-6,(c=-6,vinden we:p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt1}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt6}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{3624}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{60}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt6}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt{}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4\pm\sqrt4}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{3+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{1+24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-6\pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-\pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrow p=\frac{-4 \pm\sqrt{40}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightarrowp=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}\rightp=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2}p=\frac{-4 \pm\sqrt{16 + 24}}{2},
Vereenvoudig de wortel:p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt3p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt{}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt1p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=3\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=-\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt{}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt1}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{6\pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{\pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-\pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}\rightarrow p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2},p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}p=-2\pm\sqrt{10}p=\frac{-4 \pm2\sqrt{10}}{2}]p=-2\pm\sqrt{10}
Geldige waarde van p
Omdat p tussen 0 en 3 moet liggen, is de geldige oplossing:p=3-\sqrt3p=3-\sqrt{}p=3-\sqrt1p=3-\sqrt{10}p=3\sqrt{10}p=3+\sqrt{10}p=+\sqrt{10}p=-+\sqrt{10}
Voor deze waarde van p is de oppervlakte van de rechthoek PQRS maximaal.
