Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat een macht met een gebroken exponent is.
•Je kunt een macht met een gebroken exponent herleiden tot een (hogeremachts)wortel.
•Je kunt de bijbehorende rekenregels toepassen.
Rekenregels voor machten met gebroken exponenten
•Macht van een macht: Als je een macht hebt en die moet je weer tot een andere macht verheffen, dan vermenigvuldig je de exponenten. Bijvoorbeeld,\left(a^{p}\right)^{q}=a^{p\cdot q}.
•Wortel als macht: Deq\text{-de}machtswortel van een getal kan worden geschreven als dat getal tot de macht\frac{1}{q}.Dus x^{\frac{1}{q}} is hetzelfde als deq\text{-de}machtswortel vanx,\ \sqrt[q]{x}.Als het een breuk is met ook een getal in de teller:x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}}
Voorbeelden van herleiden
Voorbeeld 1: Herleid\left(x^{\frac15}\right)^5.
Gebruik de regel van macht van een macht:\left(x^{\frac{1}{5}}\right)^5=x^{\frac{1}{5}\cdot5}=x^1=x.
Voorbeeld 2: Schrijf de vijfde machtswortel van x^5 als een macht.
De vijfde machtswortel en tot de macht vijf zijn tegengestelde bewerkingen, dus\sqrt[5]{x^5}=x.
Breuken in exponenten
Wat als de exponent geen 1 is, maar een ander getal? Bijvoorbeeld,x^{\frac{p}{q}}.
Dit kan worden herschreven alsx^{p\cdot\frac{1}{q}},wat weer kan worden geschreven als\left(x^{p}\right)^{\frac{1}{q}}.
Dit betekent dat x^{\frac{p}{q}} gelijk is aan deq\text{-de}machtswortel vanx^{p},\ \sqrt[q]{p}.
Voorbeeldopdrachten
Opdracht 1: Schrijf x^3 \cdot \sqrt{x} als een macht vanx.
De wortel vanx,\ \sqrt{x}isx^{\frac{1}{2}}.
Vermenigvuldig de machten:x^3\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{3+\frac{1}{2}}=x^{3{,}5}.
Opdracht 2: Schrijf\sqrt[7]{x^4}\cdot x^5als een macht vanx.
De zevende machtswortel van x^4 isx^{\frac{4}{7}}.
Vermenigvuldig de machten:x^{\frac{4}{7}}\cdot x^5=x^{\frac{4}{7}+5}=x^{\frac{39}{7}}.
Negatieve en gebroken exponenten
Soms moeten er negatieve en gebroken exponenten omgezet worden naar wortels:
Opdracht 3: Schrijf\frac{\sqrt[3]{x}}{x^5}als een macht vanx.
De derde machtswortel van x isx^{\frac{1}{3}}.
Deel de machten:\frac{x^{\frac13}}{x^5}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-4\frac23}.
Opdracht 4: Schrijf\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[4]{x}}als een macht vanx.
De vijfde machtswortel van x^2 isx^{\frac{2}{5}}.
De vierde machtswortel van x isx^{\frac{1}{4}}.
Deel de machten:x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x^{\frac{3}{20}}.
Uitdrukkingen zonder negatieve en gebroken exponenten
Opdracht 5: Schrijf 5a^{3\frac12}zonder negatieve en zonder gebroken exponenten.
5a^{3\frac12}=5a^3\cdot a^{\frac12}=5a^3\sqrt{a}
Opdracht 6: Schrijf \frac12a^{\frac13}b^{-\frac34}zonder negatieve en zonder gebroken exponenten.
\frac12a^{\frac13}b^{-\frac34}=\frac12\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\frac{1}{b^{\frac34}}=\frac12\cdot\frac{\sqrt[3]{a}}{1}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{2\sqrt[4]{b^3}}
