Leerdoelen
•Je weet wat een logaritmische functie is.
•Je kunt de grafiek van een logaritmische functie bepalen.
•Je kunt het domein en bereik van een functie bepalen.
•Je kunt een logaritmische functie afleiden van de standaardfunctiey=\log_{g}\left(x\right)y=\log_{g}\left(x\right)y=\log_{g}\left(\right)y=\log_{g}y=\logy=y=y=y=y=y.
•Je kunt een logaritmische ongelijkheid oplossen.
Grafiek van een logaritmische functie
Om de grafiek vanf(x)=\log_2xf(x)=\log xf(x)=^{}\log xf(x)=^2\log xf(x)=\log xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=\log^2xf(x)=\log xf(x)=\log{2}xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=\log_2xf(x)=\log xf(x)=^{}\log xf(x)=^2\log xf(x)=\log xte begrijpen, vullen we een tabel in met verschillende waarden van () en berekenen we de bijbehorende-waarden. Hier is een voorbeeld van hoe je dat doet:
Voor, bereken je\log_2\frac{1}{8}\log\frac{1}{8}. Dit komt neer op het vinden van de macht van 2 die gelijk is aan , watis. Dus,.
Voor, krijg je.
Voor, krijg je.
Stijgend of dalend
Als het grondtal van een logaritmische functie tussen 0 en 1 ligt, is de grafiek dalend. Als het grondtal boven 1 ligt, is de grafiek stijgend. Het grondtal kan nooit kleiner zijn dan 0.
Domein, bereik en asymptoten
•Domein: De logaritmische functie is gedefinieerd voor. Dit betekent dat de grafiek nooit de-as zal raken of eroverheen zal gaan.
•Bereik: Het bereik van de logaritmische functie is alle reële getallen.
•Asymptoot: De lijnis de verticale asymptoot van de functie. Dit betekent dat de grafiek steeds dichter bij de-as komt, maar deze nooit zal raken.
Variaties en transformaties
Als we de functie veranderen naarg(x)=\log_{\frac12}xg(x)=\log_{\frac{1}{\placeholder{}}}xg(x)=\log_1xg(x)=\log xg(x)\log xg(x)=\log xg(x)=1\log xg(x)=\frac{1}{}\log xg(x)=\frac{1}{2}\log x(x)=\frac{1}{2}\log x, zien we dat de grafiek een dalende lijn wordt. Dit komt doordat het grondtal tussen 0 en 1 ligt.
Wanneer we de functie aanpassen naarf(x)=\log_2(x+3)f(x)=\log(x+3), verschuift de grafiek drie eenheden naar links. Dit heeft invloed op het domein, dat nuwordt, terwijl het bereik en de asymptoot ook verschuiven.
Oplossen van logaritmische ongelijkheden
Bij het oplossen van een logaritmische ongelijkheid, zoals\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1\log_{\frac{1}{\placeholder{}}}(x-2)+1\geq-1\log_1(x-2)+1\geq-1\log(x-2)+1\geq-1\log()x-2)+1\geq-1\log(x-2)+1\geq-11\log(x-2)+1\geq-1\frac{1}{}\log(x-2)+1\geq-1, begin je met het oplossen van de bijbehorende vergelijking. Vervolgens schets je de grafiek om te bepalen voor welke waarden vande ongelijkheid geldt.
•Stap 1: Los de vergelijking\log_{\frac13}(x-2)=-2\log_{\frac{1}{\placeholder{}}}(x-2)=-2\log_1(x-2)=-2\log(x-2)=-21\log(x-2)=-2\frac{1}{}\log(x-2)=-2op.
•Stap 2: Schets de grafiek en bepaal het snijpunt met de lijn.
•Stap 3: Bepaal het interval waarin de ongelijkheid geldt, rekening houdend met de asymptoot.
In dit geval geldt de ongelijkheid in het domein2<x\leq112<x\leq12<x\leq2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x\geq2<x2<x2<x2<x2<x2<2\lang\lang2\lang2{,}\lang2{,}1\lang2{,}11\lang2{,}1\lang2{,}\lang2\lang.
