Rekenregels met machten
Om exponentiële formules goed te begrijpen, moeten we een aantal belangrijke rekenregels met machten kennen:
a^0 = 1: Ongeacht welk getal a, geldt dat a tot de macht 0 altijd 1 is.
a^{p}\cdot a^{q}=a^{\left(p+q\right)}:Als de grondtallen gelijk zijn, mag je de exponenten optellen.
\left(a^{p}\right)^{q}=a^{\left(p\cdot q\right)}:Bij een macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten.
a^{\left(-p\right)}=\frac{1}{a^{p}}:Een negatieve exponent kun je naar de noemer brengen en het teken veranderen.
\sqrt[p]{a^{q}}=a^{\frac{q}{p}}:De wortel van a is hetzelfde als a tot de macht 1/2. Dit principe geldt ook voor andere wortels, zoals de derde of vierde machtswortel.
Opdracht 1: Herleiden van een formule
Formule: a=12\cdot3^{(4x-1)}
We gaan deze formule omzetten naar de vorma=b\cdot g^{x}.
Begin met de formele herschrijving van de exponent:
4x - 1kan worden gesplitst in twee termen:3^{4x}\cdot3^{-1}.
Verander 3^{(-1)} in \frac13:
De andere term wordt3^4tot de macht x:3^{(4)^{x}}\cdot\frac13.
Bereken3^4en vermenigvuldig\frac13met12:
3^4 = 81,dus de formule wordt:a=4\cdot81^{x}.
Opdracht 2: Nog een herleiding
Formule:y=5\cdot2^{(-x+4)}
Schrijf dit in de vorm a=b\cdot g^{x}.
Schrijf 2^{\left(-x+4\right)} als:
2^{(-x)}\cdot2^4.
Herleid verder:
2^{(-x)}=\left(\frac{1}{2^{}}\right)^{x}.
2^4=16
Vermenigvuldig met5:
y=80\cdot\left(\frac12\right)^{x}.
Opdracht 3: Complexere herleiding
Formule: y=2\cdot16^{\left(\frac12x-1\frac12\right)}
Schrijf dit in de vorm a=b\cdot g^{x}.
Begin met het splitsen van de exponenten:
16^{\frac12x}\cdot16^{-\frac32}.
Bereken waarden:
16^{\frac12}=4en 16^{-\frac32}=\frac{1}{64}\to y=4^{x}\cdot\frac{2}{64}.
Herleid vervolgens:
y=\frac{1}{32}\cdot4^{x}.
Opdracht 4: Formule met een negatieve exponent
Formule: y=\frac{100}{5^{\left(-3x+2\right)}}
Breng de exponent naar boven:
y=100\cdot5^{(3x-2)}.
Maak gebruik van de regel voor vermenigvuldigen van machten:
y=100\cdot5^{3x}\cdot5^{-2}.
Bereken de waarden:
y=4\cdot125^{x}.
Grafiek transformatie
De grafiek f(x)=2^{\left(4x-1\right)}wordt vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as met 8.
f(x)=2^{\left(4x-1\right)}wordtg(x)=8\cdot2^{\left(4x-1\right)}.
Om de grafiek van g te creëren, schrijf je8als2^3:
Dit resulteert in: g(x)=2^{\left(4x-1+3\right)}.
Dat leidt tot een nieuwe functie:
g(x)=2^{(4x+2)}, wat een translatie naar links door +3 betekent.
