Differentiequotiënt bij grafiek

Leerdoelen

•Je kunt het differentiequotiënt van een functie berekenen met behulp van een grafiek op een gegeven interval.

•Je kunt de gemiddelde verandering van y berekenen op een gegeven interval.

•Je kunt de juiste delta y en delta x bepalen door coördinaten van de grafiekpunten correct af te lezen.

•Je kunt controleren of de berekening van het differentiequotiënt correct is door de daling of stijging van de grafiek te analyseren.

•Je kunt meerdere waarden voorvinden waarvoor het differentiequotiënt een gegeven waarde heeft.

Gemiddelde verandering

De gemiddelde verandering van een functie over een interval geeft aan hoe snel de functie gemiddeld verandert tussen twee x-waarden. Deze gemiddelde verandering is gelijk aan het differentiequotiënt en komt overeen met de helling van de lijn die door twee punten op de grafiek gaat.

Formule

\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-X}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{\placeholder{}}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2}{\placeholder{}}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1-\frac{y_2}{\placeholder{}}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1-y_2\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1-y_{\frac{2}{\placeholder{}}}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1-y_2\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1-y\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1-\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_{}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_{1-}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_{1-y}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_{1-}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_{}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_2\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_{1-y}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_{1-}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y_1\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y1\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=y\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\text{Gemiddelde verandering}=\frac{\Delta}{\Delta x}

Waarbij\Delta y\Deltade verandering in de y-coördinaten is ende verandering in de x-coördinaten is.

Voorbeeld:

Stel we hebben de volgende grafiek en we willen de gemiddelde verandering berekenen over het interval van 10 tot 20.

Stap 1: Bepaal

Stap 2: Zoek de bijbehorende y-waarden:

Bijis

Bijisy=200=200

Stap 3: Bepaal\Delta y:(\Delta y:( \Delta y):( \Delta y):

Stap 4: Bereken de gemiddelde verandering:

Controle met de grafiek

Je kunt controleren of je antwoord klopt door naar de grafiek te kijken:

•Als de grafiek stijgt, moet de gemiddelde verandering positief zijn.

•Als de grafiek daalt, moet de gemiddelde verandering negatief zijn.

•Hoe steiler de grafiek, hoe groter de absolute waarde van het differentiequotiënt.

Meerdere waarden van p met hetzelfde differentiequotiënt

Soms wordt gevraagd voor welke waarden vanhet differentiequotiënt een bepaalde waarde heeft.

Dit pak je als volgt aan:

1.Teken in de grafiek een rechte lijn met de gegeven helling (het differentiequotiënt).

2.Zoek twee punten waar deze lijn de grafiek snijdt.

3.De bijbehorende x-waarden vormen mogelijke waarden van.

Op deze manier kun je meerdere waarden van p vinden waarvoor de gemiddelde verandering gelijk is aan de gegeven waarde.

Opmerking

Het is belangrijk dat:

•De waarden in de teller\left(y_2-y_1\right)\left(y_2-y\right)\left(y_2-y1\right)\left(y_2y1\right)\left(yy1\right)\left(y?y1\right)\left(y?2y1\right)\left(y?2-y1\right)\left(y?-y1\right)\left(y-y1\right)\left(y2-y1\right)en noemer\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x\right)\left(x_2-x1\right)\left(x-x1\right)\left(x2-x1\right)bij dezelfde punten horen.

•Je consequent dezelfde volgorde gebruikt: als je vannaargaat, moet je ook vannaarrekenen.

Alleen dan krijg je een correct differentiequotiënt.