Differentieerf\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{\frac43}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{}f\left(x\right)=\left(5x+2\right)f\left(x\right)=\left(5x+2\right)f\left(x\right)=\left(5x+\right)f\left(x\right)=\left(5x\right)f\left(x\right)=\left(5\right)f\left(x\right)=\left(\right)f\left(x\right)=\left(4\right)f\left(x\right)=\left(\right)f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(x\right)f\left(\right)f
Wat is de kettingregel?
De kettingregel is een techniek die we gebruiken bij het differentiëren van samengestelde functies. Wanneer er een functie binnen een andere functie staat, spreken we van de binnenfunctie en de buitenfunctie. Door de kettingregel toe te passen, kunnen we eenvoudig de afgeleide van deze functies bepalen zonder de haakjes uit te werken. De kettingregel gaat als volgt:
f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{n}f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)f\left(x\right)=c\left(ax+\right)f\left(x\right)=c\left(ax\right)f\left(x\right)=c\left(a\right)f\left(x\right)=c\left(\right)f\left(x\right)=cf\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)fgeeftf^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}\cdot af^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}\cdotf^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-1}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-1n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(a\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdotf^{\prime}\left(x\right)=c\cdot nf^{\prime}\left(x\right)=c\cdotf^{\prime}\left(x\right)=cf^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
Hierin is\left(ax+b\right)^{n}\left(ax+b\right)\left(\right)ax+b\left(\right)ax+\left(\right)ax\left(\right)a\left(\right?ade binnenfunctie enc\left.c\right)\left(c\right)c)de buitenfunctie.
Voorbeeld met gebroken exponent
Differentieer
Neem de functie over:
•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent van de binnenfunctie:5\cdot\frac35=3\left.5\cdot\frac35=3\right)\left(5\cdot\frac35=3\right)5\cdot\frac35=3)5\cdot\frac35=35\cdot\frac35=5\cdot\frac35=15\cdot\frac35=105\cdot\frac{3}{\placeholder{}}=105\cdot3=105\cdot=105\cdot2=1052=10
•Neem de binnenfunctie over:\left(8x+7\right)\left(8x+7\right.\left(8x+7\right)\left(\right)8x+7\left(\right)8x+\left(\right)8x++\left(\right)8x+\left(\right)8x\left(\right)8\left(\right?33x3x-
•Verminder de exponent met: dus van\frac35\frac{3}{\placeholder{}}3naar-\frac25-\frac{2}{\placeholder{}}-2-1
•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van8x+78x+8x8x833x3x-is8
De afgeleide vanwordt dan: f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8==\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{}=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(\right.=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right.=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac{2}{\placeholder{}}}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^2}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\frac{\left(8x+7\right)^2}{}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\frac{\left(8x+7\right)^2}{5}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\frac{\left(8x+7\right)^2}{\placeholder{}}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^2}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(\placeholder{}\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\placeholder{}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=24f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=2f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left(x\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f(xf^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left((x\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left((\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left(\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=ff^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left(\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=ff^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=
Opdracht 1: Differentieer
Neem de functie over en schrijf in de vormf\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{n}:
•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent van de binnenfunctie:1\cdot\frac12=\frac121\cdot\frac12=\frac{1}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=11\cdot\frac12=1\cdot\frac12=21\cdot\frac12=1\cdot\frac12=31\cdot\frac12=311\cdot\frac12=\frac{31}{}1\cdot\frac12=\frac{31}{2}1\cdot\frac12=\frac{31}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=311\cdot\frac12=31\cdot\frac{1}{}=31\cdot\frac15=31\cdot\frac{}{5}=31\cdot\frac35=3\cdot\frac35=35\cdot\frac35=35\cdot\frac35=5\cdot\frac35=15\cdot\frac35=105\cdot\frac{3}{\placeholder{}}=105\cdot3=105\cdot=105\cdot2=1052=10
•Neem de binnenfunctie over:\left(3x+2\right)\left(3x+\right)\left(3x\right)\left(3\right)\left(\right)\left(8\right)\left(8x\right)\left(8x+\right)\left(8x+7\right)\left(\right)8x+7\left(\right)8x+\left(\right)8x++\left(\right)8x+\left(\right)8x\left(\right)8\left(\right?33x3x-
•Verminder de exponent met: van\frac12\frac{1}{\placeholder{}}13\frac{3}{}\frac35\frac{3}{\placeholder{}}3naar-\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}-1---2-\frac{2}{}-\frac25-\frac{2}{\placeholder{}}-2-1
•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van3x+23x+3x+73+7+78+78x+78x+8x8x833x3x-is38
Dus je krijgt:
Alternatieve uitwerking
De afgeleide vanis: Wanneer je dit toepast op\sqrt{3x + 2}:
Beide aanpakken zijn goed; kies degene die jou het beste ligt.
Opdracht 2: Differentieer
Neem de functie over en schrijf in de vormf\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{n}:
•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent van de binnenfunctie:-1\cdot\frac12=-\frac12-1\cdot\frac12=\frac121\cdot\frac12=\frac121\cdot\frac12=\frac{1}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=11\cdot\frac12=1\cdot\frac12=21\cdot\frac12=1\cdot\frac12=31\cdot\frac12=311\cdot\frac12=\frac{31}{}1\cdot\frac12=\frac{31}{2}1\cdot\frac12=\frac{31}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=311\cdot\frac12=31\cdot\frac{1}{}=31\cdot\frac15=31\cdot\frac{}{5}=31\cdot\frac35=3\cdot\frac35=35\cdot\frac35=35\cdot\frac35=5\cdot\frac35=15\cdot\frac35=105\cdot\frac{3}{\placeholder{}}=105\cdot3=105\cdot=105\cdot2=1052=10
•Neem de binnenfunctie over:\left(5-4x\right)\left(5-4\right)\left(5-\right)\left(5\right)\left(\right)\left(3\right)\left(3x\right)\left(3x+\right)\left(3x+2\right)\left(3x+\right)\left(3x\right)\left(3\right)\left(\right)\left(8\right)\left(8x\right)\left(8x+\right)\left(8x+7\right)\left(\right)8x+7\left(\right)8x+\left(\right)8x++\left(\right)8x+\left(\right)8x\left(\right)8\left(\right?33x3x-
•Verminder de exponent met : van\frac12\frac{1}{\placeholder{}}13\frac{3}{}\frac35\frac{3}{\placeholder{}}3naar-\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}-1---2-\frac{2}{}-\frac25-\frac{2}{\placeholder{}}-2-1
•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van5-4x5-45-533x3x+3x+23x+3x+73+7+78+78x+78x+8x8x833x3x-is-4-38
•Dit geeft-\frac{1}{2}(5-4x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-4)=\frac{2}{\sqrt{5 - 4x}}
•En de afgeleide van3x^53x3is15x^415x15133x3
Dus je krijgt:
