De exacte-waarden-cirkel

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat de exacte waardecirkel is.

•Je kunt de coördinaten van punt P op de exacte waardecirkel bepalen voor hoeken van0, \frac{1}{6}\pi,\frac{1}{4}\pi,\frac{1}{3}\pien\frac{1}{2}\piradialen.

•Je kunt bij gegeven coördinaten van punt P de bijbehorende hoek, oftewel de afgelegde weg, bepalen binnen één omwenteling.

Bijzondere driehoeken

Gelijkzijdige driehoek

Een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke zijden en drie gelijke hoeken van60^{\circ}. Laten we een gelijkzijdige driehoek ABC nemen met zijden van lengte 2.

Teken nu een loodlijn vanuit hoek C naar zijde AB. Noem het snijpunt D. Deze lijn is de hoogtelijn, zwaartelijn en bissectrice. Dit betekent dat:

•Hoek ADC is90^{\circ}.

•Hoek C wordt gesplitst in twee hoeken van30^{\circ}(hoek ACD en hoek BCD).

•Zijde AB wordt gesplitst in twee gelijke delen, dusAD = BD = 1.

Nu hebben we een rechthoekige driehoek ACD. De zijden zijnAC = 2(schuine zijde),AD = 1(rechthoekszijde). Met de stelling van Pythagoras kunnen we de lengte van CD berekenen:CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}.

Nu kunnen we de sinus en cosinus van de hoeken in deze driehoek bepalen:

•Sinus van hoek ACD (30^{\circ}): De sinus is de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde. \sin(30^\circ) = \frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}.

•Cosinus van hoek ACD (30^{\circ}): De cosinus is de aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde. \cos(30^\circ) = \frac{CD}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{3}.

We kunnen dit ook doen voor hoek A, die60^{\circ}is:

•Sinus van hoek A (60^{\circ}): \sin(60^\circ) = \frac{CD}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{3}.

•Cosinus van hoek A (60^{\circ}): \cos(60^\circ) = \frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}.

Gelijkbenige rechthoekige driehoek

De volgende bijzondere driehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Hierbij is één hoek90^{\circ}en de andere twee hoeken zijn45^{\circ}. Laten we de rechthoekszijden de lengte 1 geven.

Met de stelling van Pythagoras berekenen we de lengte van de schuine zijde AC: AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.

Nu bepalen we de sinus en cosinus van hoek A (45^{\circ}):

•Sinus van hoek A (45^{\circ}): \sin(45^\circ) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Om de wortel uit de noemer te verwijderen, vermenigvuldigen we met\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}(een 'slimme één'): \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}.

•Cosinus van hoek A (45^{\circ}): \cos(45^\circ) = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}.

Hoeken omrekenen naar radialen

In de wiskunde, met name bij de eenheidscirkel, gebruiken we vaak radialen in plaats van graden om hoeken aan te geven. Eén volledige cirkel is360^{\circ}, wat overeenkomt met2\piradialen. Een halve cirkel is180^{\circ}, wat gelijk is aan\piradialen.

Om graden om te rekenen naar radialen, gebruik je de formule:\text{hoek in radialen }= \frac{\text{hoek in graden}}{ 180}\cdot\pi.

Laten we onze hoeken omrekenen:

•30^{\circ}:\frac{30}{180}\pi = \frac{1}{6}\piradialen.

•45^{\circ}:\frac{45}{180}\pi = \frac{1}{4}\piradialen.

•60^{\circ}:\frac{60}{180}\pi = \frac{1}{3}\piradialen.

•90^{\circ}:\frac{90}{180}\pi = \frac{1}{2}\piradialen.

•0^{\circ}:0radialen.

Nu kunnen we de tabel aanvullen met de hoeken in radialen.

De eenheidscirkel en punt P

De eenheidscirkel is een cirkel met een straal van 1 en het middelpunt in de oorsprong (0,0) van een assenstelsel. Een punt P beweegt over deze cirkel. De hoek\alphadie punt P heeft afgelegd, wordt gemeten vanaf de positieve x-as, tegen de klok in.

De coördinaten van punt P op de eenheidscirkel zijn\left(x,y\right). Deze coördinaten zijn direct gerelateerd aan de cosinus en sinus van de hoek\alpha:

•Dex\text{-coördinaat} van P is gelijk aan\cos(\alpha).

•Dey\text{-coördinaat}van P is gelijk aan\sin(\alpha). DusP = (\cos(\alpha), \sin(\alpha)).

Het eerste kwadrant

Laten we kijken naar de punten P in het eerste kwadrant (hoeken van0tot\frac{1}{2}\pi).

•Hoek 0 radialen (0^{\circ}): Punt P start op de positieve x-as. De coördinaten zijn (1, 0). Dus,\cos(0) = 1en\sin(0) = 0.

•Hoek\frac{1}{6}\piradialen (30^{\circ}): Uit onze tabel weten we:\cos(\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{3}en\sin(\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{2}. De coördinaten zijn\left(\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2}\right).

•Hoek\frac{1}{4}\piradialen (45^{\circ}): Uit onze tabel weten we:\cos(\frac{1}{4}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}en\sin(\frac{1}{4}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}. De coördinaten zijn\left(\frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2}\right).

•Hoek\frac{1}{3}\piradialen (60^{\circ}): Uit onze tabel weten we:\cos(\frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2}en\sin(\frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{3}. De coördinaten zijn\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\sqrt{3}\right).

•Hoek\frac{1}{2}\piradialen (90^{\circ}): Punt P bevindt zich op de positieve y-as. De coördinaten zijn\left(0,1\right). Dus,\cos(\frac{1}{2}\pi) = 0en\sin(\frac{1}{2}\pi) = 1.

Symmetrie in de eenheidscirkel

Door gebruik te maken van symmetrie kunnen we de coördinaten van P voor hoeken in de andere kwadranten afleiden.

De eenheidscirkel is symmetrisch. Dit betekent dat de absolute waarden van de x- en y-coördinaten in de andere kwadranten gelijk zijn aan die in het eerste kwadrant, maar de tekens (+ of -) kunnen verschillen.

Tweede kwadrant (van\frac{1}{2}\pitot\pi):x\text{-coördinaat}is negatief,y\text{-coördinaat}is positief.

•Hoek\frac{2}{3}\pi:x\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2},y\text{-coördinaat}is\frac{1}{2}\sqrt{3}(symmetrisch met\frac{1}{3}\pi).

•Hoek\frac{3}{4}\pi:x\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{2},y\text{-coördinaatis\frac{1}{2}\sqrt{2}(symmetrisch met\frac{1}{4}\pi).

•Hoek\frac{5}{6}\pi:x\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{3},y\text{-coördinaat}is\frac{1}{2}(symmetrisch met\frac{1}{6}\pi).

•Hoek\pi:P(-1, 0).

Derde kwadrant (van\pitot1\frac{1}{2}\pi): Zowelx\text{-}alsy\text{-coördinaat}zijn negatief.

•Hoek1\frac{1}{6}\pi(\frac{7}{6}\pi):x\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{3},y\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}(symmetrisch met\frac{1}{6}\pi, beide negatief).

•Hoek1\frac{1}{4}\pi(\frac{5}{4}\pi):x\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{2},y\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{2}(symmetrisch met\frac{1}{4}\pi, beide negatief).

•Hoek1\frac{1}{3}\pi(\frac{4}{3}\pi):x\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2},y\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{3}(symmetrisch met\frac{1}{3}\pi, beide negatief).

•Hoek1\frac{1}{2}\pi(\frac{3}{2}\pi):P(0, -1).

Vierde kwadrant (van1\frac{1}{2}\pitot2\pi):x\text{-coördinaat}is positief,y\text{-coördinaat}is negatief.

•Hoek1\frac{2}{3}\pi(\frac{5}{3}\pi):x\text{-coördinaat}is\frac{1}{2},y\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{3}(symmetrisch met\frac{1}{3}\pi, y negatief).

•Hoek1\frac{3}{4}\pi(\frac{7}{4}\pi):x\text{-coördinaat}is\frac{1}{2}\sqrt{2},y\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{2}(symmetrisch met\frac{1}{4}\pi, y negatief).

•Hoek1\frac{5}{6}\pi(\frac{11}{6}\pi):x\text{-coördinaat}is\frac{1}{2}\sqrt{3},y\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}(symmetrisch met\frac{1}{6}\pi, y negatief).

•Hoek2\pi(of0):P(1, 0), een volledige omwenteling.

Exacte waarden van sinus en cosinus bepalen

Je kunt de exacte waarde van\sin(\alpha)of\cos(\alpha)bepalen door de hoek\alphaop de cirkel op te zoeken en vervolgens de bijbehorendey\text{-}(voor sinus) ofx\text{-coördinaat}(voor cosinus) af te lezen.

•Voorbeeld 1:\sin(\frac{5}{6}\pi) Zoek\frac{5}{6}\piop de exacte waardecirkel. Dey\text{-coördinaat}bij dit punt is\frac{1}{2}. Dus,\sin(\frac{5}{6}\pi) = \frac{1}{2}.

•Voorbeeld 2:\cos(1\frac{1}{3}\pi) Zoek1\frac{1}{3}\piop de exacte waardecirkel. Dex\text{-coördinaat}bij dit punt is-\frac{1}{2}. Dus,\cos(1\frac{1}{3}\pi) = -\frac{1}{2}.

•Voorbeeld 3:\sin(-\frac{1}{3}\pi) Een negatieve hoek betekent dat je met de klok mee draait.-\frac{1}{3}\piis gelijk aan een hoek van2\pi - \frac{1}{3}\pi = 1\frac{2}{3}\pitegen de klok in. Zoek1\frac{2}{3}\piop de cirkel. Dey\text{-coördinaat}is-\frac{1}{2}\sqrt{3}. Dus,\sin(-\frac{1}{3}\pi) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}.

•Voorbeeld 4:\cos(-\frac{1}{4}\pi) -\frac{1}{4}\piis gelijk aan2\pi - \frac{1}{4}\pi = 1\frac{3}{4}\pi. Zoek1\frac{3}{4}\piop de cirkel. Dex\text{-coördinaat}is\frac{1}{2}\sqrt{2}. Dus,\cos(-\frac{1}{4}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}.

Hoek bepalen bij gegeven exacte waarde

Omgekeerd kun je ook de hoek(en)\alphabepalen als de sinus- of cosinuswaarde gegeven is, binnen het interval0tot2\pi(één volledige omwenteling).

•Voorbeeld 1:\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{2}met0 \le \alpha \le 2\pi Zoek op de eenheidscirkel waar dey\text{-coördinaat}\frac{1}{2}\sqrt{2}is. Je vindt twee hoeken: \alpha = \frac{1}{4}\pien\alpha = \frac{3}{4}\pi.

•Voorbeeld 2:\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}met0 \le \alpha \le 2\pi Zoek op de eenheidscirkel waar dex\text{-coördinaat}-\frac{1}{2}is. Je vindt twee hoeken: \alpha = \frac{2}{3}\pien\alpha = 1\frac{1}{3}\pi.

•Voorbeeld 3:\sin(\alpha) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}met0\le\alpha\le2\pi Zoek op de eenheidscirkel waar dey\text{-coördinaat}-\frac{1}{2}\sqrt{3}is. Je vindt twee hoeken: \alpha = 1\frac{1}{3}\pien\alpha = 1\frac{2}{3}\pi.