Differentieerf\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7x+1f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7x+f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7xf\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13xf\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac{1}{\placeholder{}}f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+1f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5f\left(x\right)=-\frac12x^2-2xf\left(x\right)=-\frac12x^2-2f\left(x\right)=-\frac12x^2-f\left(x\right)=-\frac12x^2f\left(x\right)=-\frac12xf\left(x\right)=-\frac12f\left(x\right)=-\frac{1}{\placeholder{}}f\left(x\right)=-1f\left(x\right)=-f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(x-\right)f\left(x\right)f\left(\right)f\left(c\right)f\left(\right)f\left(\right.\left(\right)\left(\right)f\left(\right?^{}^{\prime}^{\prime}f'
De afgeleide van f\left(x\right)=ax^{n}f\left(x\right)=axf\left(x\right)=af\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)ff=f
In deze les leer je hoe je de afgeleide van een functie van de vormkunt berekenen, waarbijpositieve gehele getallen zijn. Je leert de regels voor differentiatie toe te passen in verschillende voorbeelden.
Wat is een afgeleide?
De afgeleide van een functie geeft de helling van de grafiek op een bepaald punt aan. Wanneer we werken met een functie van de vormax^{n},gebruiken we de volgende differentiatieregel:
De afgeleide vanwordt gegeven door:
Hierbij vermenigvuldig je de coëfficiëntmet de exponenten verlaag je de exponent met1.
Voorbeeld 1: Berekening van de afgeleide
Gegeven de functie:
Laten we deze functie differentiëren:
•De afgeleide van6x^5=5\cdot6x^{5-1}=30x^4.6x^5)=5\cdot6x^{5-1}=30x^4.(6x^5)=5\cdot6x^{5-1}=30x^4.(6x^5)=5\cdot6x^{5-1}=30x^4(6x^5)=5\cdot x^{5-1}=30x^4(6x^5)=5\cdot5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=\cdot5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=6\cdot5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=65x^{5-1}=30x^4(6x^5)=6\times5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=(6\times5x^{5-1}=30x^4(6x^5)(6\times5x^{5-1}=30x^4(6x^5)i(6\times5x^{5-1}=30x^4
•Vooris de afgeleide3\cdot4x^{4-1}=12x^3.3\cdot4x^{4-1}=12x^334x^{4-1}=12x^3
•De afgeleide van-7x=-7.-7x=-7-7x=(-7-7x)=(-7-7x)(-7-7x)i(-7
•De constante\left(+5\right)+5)verdwijnt, omdat de afgeleide van een constante altijdis.
Daarom is de afgeleide van de functie:
Voorbeeld 2: Afgeleide met meerdere variabelen
Gegeven de functie:
g(x)=-4tx^7+x^5-3tx^2+tx-2tg(x)=-4tx^7+x^5-3tx^2+x-2t
Hierin beschouwen wet\left(t\right.\left(t\right)\left(\right)t\left(\right?als een constante enx\left(x\right.\left(x\right)x)als de variabele:
•Vooris de afgeleide-4t\cdot7x^{7-1}=-28tx^6.-4t\cdot7x^{7-1}=-28tx^6-4t\cdot7x^{7-1}=-28tx^6)-4t\cdot7x^{7-1}=-28tx^6).(-4t\cdot7x^{7-1}=-28tx^6).(-4t7x^{7-1}=-28tx^6).
•Vooris de afgeleide5x^{5-1}=5x^4.5x^{5-1}=5x^45x^{5-1}=5x^4,5x^{5-1}=5x^45x^{5-1}=5x^4)5x^{5-1}=5x^4).
•De afgeleide vanis-3t\cdot2x^{2-1}=-6tx.-3t\cdot2x^{2-1}=-6tx-3t2x^{2-1}=-6tx
•Voortxxis de afgeleideten de constanteverdwijnt.
Daarom is de afgeleide:
g^{\prime}(x)=-28tx^6+5x^4-6tx+tg^{\prime}(x)=-28tx^6+5x^4-6tx+
Berekenen van hellingen
Voorbeeld 3a: Helling bij een bepaalde waarde
Gegeven de functie:
Je kunt de helling berekenen voordoor eerst de afgeleide te bepalen en vervolgens in te vullen.
f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8x-13f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8x-1f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8x-f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8xf^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+f^{\prime}\left(x\right)=-x^2f^{\prime}\left(x\right)=-xf^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=-2f^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}fF
f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3-13f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3-1f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3-f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdotf^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)f^{\prime}\left(3\right)=\left(-\right)f^{\prime}\left(3\right)=\left(\right)f^{\prime}\left(3\right)=f^{\prime}\left(3\right)=-f^{\prime}\left(3\right)=f^{\prime}\left(3\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
f^{\prime}\left(3\right)=2f^{\prime}\left(3\right)=f^{\prime}\left(3\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f^{}^{f}^{f^{}}^{f^{\prime}}^{f}^{}'ff\text{''}ff\text{''}f\text{'' }f\text{''}f
Voorx=3x=xis de helling gelijk aan2.2
Voorbeeld 3b: Helling gelijk aan bepaalde waarde
Nu willen we weten voor welkede helling vangelijk is aan3.
Stel de afgeleide functie gelijk aan3.
f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8x-13f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8x-1f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8x-f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8xf^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+f^{\prime}\left(x\right)=-x^3f^{\prime}\left(x\right)=-xf^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
f^{\prime}\left(x\right)=3f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}fgeeft-x^2+8x-13=3-x^2+8x-13=-x^2+8x-13-x^2+8x-1-x^2+8x--x^2+8x-x^2+8-x^2+-x^2-x^{}-x^3-x^{32}-x^3-x-
-x^2+8x-16=0-x^2+8x-16=-x^2+8x-16-x^2+8x-1-x^2+8x--x^2+8x-x^2+8-x^2+-x^2-x-
x^2-8x+16=0x^2-8x+16=x^2-8x+16x^2-8x+1x^2-8x+x^2-8xx^2-8x^2-x^2x
\left(x-4\right)\left(x-4\right)=0\left(x-4\right)\left(x-4\right)=\left(x-4\right)\left(x-4\right)\left(x-4\right)\left(x-\right)\left(x-4\right)\left(x\right)\left(x-4\right)\left(\right)\left(x-4\right)\left(\right)x-4\left(\right)x-\left(\right)x\left(\right?
x=4x=x
Vooris de helling van grafiek vangelijk aan3.
