Differentieer f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x^2}f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x}f\left(x\right)=\frac{3x-5}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{3x-}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{3x}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{3}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)f
Basisprincipes van differentiatie
Wanneer we de functie differentiëren, gebruiken we de regel:
f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x^{\left(^{}n-1\right)}f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot xf^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-1\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-1\right)f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot xf^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-1\right)
Voorbeeld 1: f^{\prime}(x)=-2x^{-3}f^{\prime}(x)=-2x^{-}f^{\prime}(x)=-2x^{}f^{\prime}(x)=-2x^{}\left(-3\right)f^{\prime}(x)=-2x^{}-3)
Vermenigvuldig met de exponent -3. Dit geeft ons .
Haal 11 van de exponent af: .
De afgeleide is dus f^{\prime}(x)=6x^{-4}f^{\prime}(x)=6x^{-}f^{\prime}(x)=6x^{-5}f^{\prime}(x)=6x^{-}f^{\prime}(x)=6x^{}f^{\prime}(x)=6x^{}\left(\right.f^{\prime}(x)=6x^{}\left(-\right.f^{\prime}(x)=6x^{}\left(-4\right.f^{\prime}(x)=6x^{}\left(-4\right)f^{\prime}(x)=6x^{}-4).
Voorbeeld 2: g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^6}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^{}}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^2}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^{26}}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^2}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x}g^{\prime}(x)=\frac{5}{}g^{\prime}(x)=\frac55g^{\prime}(x)=\frac{}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x^{}}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x^6}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x^6}{\placeholder{}}g^{\prime}(x)=\frac{5x^6}{\placeholder{}}g^{\prime}(x)=\frac{5/x^6}{\placeholder{}}
Zet de functie om naar een machtsvorm: g^{\prime}(x)=5\cdot x^{-6}g^{\prime}(x)=5\cdot x^{-}g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-6g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-6)g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-6).g^{\prime}(x)=5x^{}-6).g^{\prime}(x)=5*x^{}-6).
Differentieer: 5\cdot-6=-305\cdot-6=-35\cdot-6=-3-5\cdot-6=-35\cdot-6=-5\cdot-6=5\cdot-65\cdot-5\cdot-55\cdot-5\cdot5
Haal 1 van de exponent af: . De afgeleide wordt: g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}xg^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}x^{}g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}x^7g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x}x^7g^{\prime}(x)=-\frac{30}{\placeholder{}}x^7g^{\prime}(x)=-30x^7g^{\prime}(x)=-30/x^7
voorbeeld opdrachten
Opdracht 1a: De raaklijn van de functie f(x)=\frac{x^2+9}{3x}f(x)=\frac{x^2+9)}{3x}f(x)=\frac{(x^2+9)}{3x}f(x)=\frac{(x^2+9)}{3}f(x)=\frac{(x^2+9)}{\placeholder{}}f(x)=(x^2+9)
We willen de formule van de raaklijn in het punt a waar x_{A}=-1 opstellen.
Differentieer om te vinden.
•Breuk weghalen:
f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3x^{-1}f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3x^{-}f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3xf\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13xf\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac{1}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=1f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(x\right.f\left(x\right)f\left(x\right)+f\left(x\right)f\left(\right)f\left(c\right)f\left(cx\right)f\left(c\right)f\left(\right)f
•Differentiëren geeft:
\frac13x=\frac13\frac13x=\frac{1}{\placeholder{}}\frac13x=1\frac13x=\frac13x\frac13\frac{1}{\placeholder{}}1 en 3x^{-1} wordt -1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-11}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-2}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-2}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}3x^{-1}=-1\cdot3_{}3x^{-1}=-1\cdot_{}3x^{-1}=-1_{}3x^{-1}=-_{}3x^{-1}=_{}3x^{-1}=_13x^{-1}=_{1\cdot}3x^{-1}=_13x^{-1}=3x^{-1}3x^{-}3x3x63x3x-3x3
f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13-\frac{3}{x^2}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-\frac{3}{x^2}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-\frac{3}{x}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-\frac{3}{\placeholder{}}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-3f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13xf^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac{1}{3x}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac{1}{\placeholder{}}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=1f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2f^{\prime}\left(x\right)=-3xf^{\prime}\left(x\right)=-3f^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
•Zoek de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn: rc_{k}=f^{\prime}(-1)=-2\frac23rc_{k}=f^{\prime}(-1)=-\frac23rc_{k}=f^{\prime}(-1)=\frac23rc_{k}=f^{\prime}(-1)=\frac{2}{\placeholder{}}rc_{k}=f^{\prime}(-1)=2rc_{k}=f^{\prime}(-1)=rc=f^{\prime}(-1)=rck=f^{\prime}(-1)=rc=f^{\prime}(-1)=r=f^{\prime}(-1)==f^{\prime}(-1)=h=f^{\prime}(-1)=.
•Vind het coördinaat waar de raaklijn door heen gaat:
voor y_{A}=f\left(-1\right)=-3\frac13y_{A}=f\left(-1\right)=-3-\frac13y_{A}=f\left(-1\right)=-3-\frac{1}{\placeholder{}}y_{A}=f\left(-1\right)=-3-1y_{A}=f\left(-1\right)=-3-y_{A}=f\left(-1\right)=-3y_{A}=f\left(-1\right)=-y_{A}=f\left(-1\right)=y_{A}=f\left(-1\right)y_{A}=f\left(-\right)y_{A}=f\left(\right)y_{A}=fy_{A}=y_{A}y
Dus A\left(-1{,}-3\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac{}{3}\right)A\left(-1{,}-3-\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac{1}{\placeholder{}}\right)A\left(-1{,}-3-1\right)A\left(-1{,}-3-\right)A\left(-1{,}-3\right)A\left(-1{,}-\right)A\left(-1{,}\right)A\left(-1\right)A\left(-\right)A\left(\right)A
•Raaklijn opstellen en coördinaat invullen:
stel: k:y=ax+bk:y=ax+k:y=axk:y=ak:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ak:y=k:yk:k met a=-2\frac23a=-\frac23a=\frac23a=\frac{2}{\placeholder{}}a=2a=a
k:y=-2\frac23x+bk:y=-2\frac23x+k:y=-2\frac23xk:y=-2\frac23k:y=-\frac23k:y=-3\frac23k:y=-\frac23k:y=--\frac23k:y=--\frac{2}{\placeholder{}}k:y=--2k:y=--k:y=-k:y=k:yk:k gaat door het puntA\left(-1{,}-3\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac{1}{\placeholder{}}\right)A\left(-1{,}-3-1\right)A\left(-1{,}-3-\right)A\left(-1{,}-3\right)A\left(-1{,}-\right)A\left(-1{,}\right)A\left(-1\right)A\left(-\right)A\left(\right)
-2\frac23\cdot-1+b=-3\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-2\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-\frac{1}{\placeholder{}}-2\frac23\cdot-1+b=-1-2\frac23\cdot-1+b=--2\frac23\cdot-1+b=-2\frac23\cdot-1+b-2\frac23\cdot-1+-2\frac23\cdot-1-2\frac23\cdot--2\frac23\cdot-2\frac23-2-\frac23-2-\frac{2}{\placeholder{}}-2-2-2--2-
2\frac23+b=-3\frac132\frac23+b=-3-\frac132\frac23+b=-3-\frac{1}{\placeholder{}}2\frac23+b=-3-12\frac23+b=-3-2\frac23+b=-32\frac23+b=-2\frac23+b=2\frac23+b2\frac23+2\frac23\frac23\frac{2}{\placeholder{}}2
b=-6b=-b=b
Dus k:y=-2\frac23x-6k:y=-2\frac23x-k:y=-2\frac23xk:y=-2\frac23k:y=-2-\frac23k:y=-2-\frac{2}{\placeholder{}}k:y=-2-2k:y=-2-k:y=-2k:y=-k:y=k:yk:kkk:kk:kkk\text{ÿ}k\text{ÿ=}k\text{ÿ}k
.
Opdracht 1b: Bepaal de extreme waarden vanf\left(x\right)f\left(\right)
Gebruik de afgeleide f^{\prime}(x)=\frac13-\frac{3}{x^2}f^{\prime}(x)=\frac13-\frac{3}{x}f^{\prime}(x)=\frac13-\frac{3}{\placeholder{}}f^{\prime}(x)=\frac13-3f^{\prime}(x)=\frac13-f^{\prime}(x)=\frac13f^{\prime}(x)=\frac{1}{}f^{\prime}(x)=\frac12f^{\prime}(x)=\frac{1}{\placeholder{}}f^{\prime}(x)=1f^{\prime}(x)=en stel deze gelijk aan omdat de hellingen bij de extremen waarden horizontaal zijn.
•Los de vergelijking op voor.
f^{\prime}\left(x\right)=0f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f geeft \frac13-\frac{3}{x^{^2}}=0\frac13-\frac{3}{x^{^2}}=\frac13-\frac{3}{x^{^2}}\frac13-\frac{3}{x}\frac13-\frac{3}{\placeholder{}}\frac13-3\frac13-\frac13\frac{1}{\placeholder{}}1
\frac13=\frac{3}{x^2}\frac13=\frac{3}{x}\frac13=\frac{3}{\placeholder{}}\frac13=3\frac13=\frac13\frac{1}{\placeholder{}}1
x^2=9x^2=x^2x
x=3x=x V x=-3x=-x=x
vold. vold.
Gebruik de gevonden coördinaten om de bijbehorende-coördinaten te berekenen.
•Het minimum van f\left(3\right)=2f\left(3\right)=-2f\left(3\right)=-f\left(3\right)=f\left(3\right)f\left(\right)f.
•Het maximum van f\left(-3\right)=-2f\left(-3\right)=-f\left(-3\right)=f\left(-3\right)f\left(-\right)f\left(\right)f.
Visualisatie
Bij het werken met deze onderwerpen is het handig om visuele elementen zoals grafieken van de functies en hun raaklijnen weer te geven. Dit helpt je een beter begrip te krijgen van hoe afgeleiden werken en hoe ze gerelateerd zijn aan de grafiek van de functie.
