Differentieer f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x^2}f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x}f\left(x\right)=\frac{3x-5}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{3x-}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{3x}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{3}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)f
Basisprincipes van differentiatie
Wanneer we de functiedifferentiëren, gebruiken we de regel:
f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x^{\left(^{}n-1\right)}f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot xf^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-1\right.f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-1\right)f^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot xf^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x\left(^{}n-1\right)
Voorbeeld 1:f^{\prime}(x)=-2x^{-3}f^{\prime}(x)=-2x^{-}f^{\prime}(x)=-2x^{}f^{\prime}(x)=-2x^{}\left(-3\right)f^{\prime}(x)=-2x^{}-3)
Vermenigvuldigmet de exponent-3.-3Dit geeft ons6.
Haal11van de exponent af:-3-1=-4.
De afgeleide is dusf^{\prime}(x)=6x^{-4}.f^{\prime}(x)=6x^{-4}f^{\prime}(x)=6x^{-}f^{\prime}(x)=6x^{-5}f^{\prime}(x)=6x^{-}f^{\prime}(x)=6x^{}f^{\prime}(x)=6x^{}\left(\right.f^{\prime}(x)=6x^{}\left(-\right.f^{\prime}(x)=6x^{}\left(-4\right.f^{\prime}(x)=6x^{}\left(-4\right)f^{\prime}(x)=6x^{}-4)
Voorbeeld 2: g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^6}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^{}}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^2}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^{26}}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x^2}g^{\prime}(x)=\frac{5}{x}g^{\prime}(x)=\frac{5}{}g^{\prime}(x)=\frac55g^{\prime}(x)=\frac{}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x^{}}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x^6}{5}g^{\prime}(x)=\frac{x^6}{\placeholder{}}g^{\prime}(x)=\frac{5x^6}{\placeholder{}}g^{\prime}(x)=\frac{5/x^6}{\placeholder{}}
Zet de functie om naar een machtsvorm:g^{\prime}(x)=5\cdot x^{-6}g^{\prime}(x)=5\cdot x^{-}g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-6g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-6)g^{\prime}(x)=5\cdot x^{}-6).g^{\prime}(x)=5x^{}-6).g^{\prime}(x)=5*x^{}-6).
Differentieer:5\cdot-6=-305\cdot-6=-35\cdot-6=-3-5\cdot-6=-35\cdot-6=-5\cdot-6=5\cdot-65\cdot-5\cdot-55\cdot-5\cdot5
Haalvan de exponent af:-6-1=-7.De afgeleide wordt: g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}xg^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}x^{}g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x^7}x^7g^{\prime}(x)=-\frac{30}{x}x^7g^{\prime}(x)=-\frac{30}{\placeholder{}}x^7g^{\prime}(x)=-30x^7g^{\prime}(x)=-30/x^7
Voorbeeldopdrachten
Opdracht 1a: De raaklijn van de functief(x)=\frac{x^2+9}{3x}f(x)=\frac{x^2+9)}{3x}f(x)=\frac{(x^2+9)}{3x}f(x)=\frac{(x^2+9)}{3}f(x)=\frac{(x^2+9)}{\placeholder{}}f(x)=(x^2+9)
We willen de formule van de raaklijnin het puntAwaarx_{A}=-1opstellen.
Differentieeromte vinden.
•Breuk weghalen:
f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3x^{-1}f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3x^{-}f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3xf\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+3f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13x+f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13xf\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac13f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=\frac{1}{\placeholder{}}f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=1f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}=f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{3x}f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(x\right.f\left(x\right)f\left(x\right)+f\left(x\right)f\left(\right)f\left(c\right)f\left(cx\right)f\left(c\right)f\left(\right)f
•Differentiëren geeft:
\frac13x=\frac13\frac13x=\frac{1}{\placeholder{}}\frac13x=1\frac13x=\frac13x\frac13\frac{1}{\placeholder{}}1en3x^{-1}wordt-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-11}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-2}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-1}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-2}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}^{-}3x^{-1}=-1\cdot3x_{}3x^{-1}=-1\cdot3_{}3x^{-1}=-1\cdot_{}3x^{-1}=-1_{}3x^{-1}=-_{}3x^{-1}=_{}3x^{-1}=_13x^{-1}=_{1\cdot}3x^{-1}=_13x^{-1}=3x^{-1}3x^{-}3x3x63x3x-3x3
f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13-\frac{3}{x^2}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-\frac{3}{x^2}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-\frac{3}{x}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-\frac{3}{\placeholder{}}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-3f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13x-f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13xf^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac{1}{3x}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac13f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=\frac{1}{\placeholder{}}f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=1f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2=f^{\prime}\left(x\right)=-3x^2f^{\prime}\left(x\right)=-3xf^{\prime}\left(x\right)=-3f^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
•Zoek de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn: rc_{k}=f^{\prime}(-1)=-2\frac23rc_{k}=f^{\prime}(-1)=-\frac23rc_{k}=f^{\prime}(-1)=\frac23rc_{k}=f^{\prime}(-1)=\frac{2}{\placeholder{}}rc_{k}=f^{\prime}(-1)=2rc_{k}=f^{\prime}(-1)=rc=f^{\prime}(-1)=rck=f^{\prime}(-1)=rc=f^{\prime}(-1)=r=f^{\prime}(-1)==f^{\prime}(-1)=h=f^{\prime}(-1)=
•Vind het coördinaat waar de raaklijn doorheen gaat:
voory_{A}=f\left(-1\right)=-3\frac13y_{A}=f\left(-1\right)=-3-\frac13y_{A}=f\left(-1\right)=-3-\frac{1}{\placeholder{}}y_{A}=f\left(-1\right)=-3-1y_{A}=f\left(-1\right)=-3-y_{A}=f\left(-1\right)=-3y_{A}=f\left(-1\right)=-y_{A}=f\left(-1\right)=y_{A}=f\left(-1\right)y_{A}=f\left(-\right)y_{A}=f\left(\right)y_{A}=fy_{A}=y_{A}y
DusA\left(-1{,}-3\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac{}{3}\right)A\left(-1{,}-3-\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac{1}{\placeholder{}}\right)A\left(-1{,}-3-1\right)A\left(-1{,}-3-\right)A\left(-1{,}-3\right)A\left(-1{,}-\right)A\left(-1{,}\right)A\left(-1\right)A\left(-\right)A\left(\right)A
•Raaklijn opstellen en coördinaat invullen:
stel:k:\ y=ax+bk:y=ax+bk:y=ax+bk:y=ax+bk:y=ax+k:y=axk:y=ak:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ask:y=ak:y=k:yk:kmeta=-2\frac23a=-\frac23a=\frac23a=\frac{2}{\placeholder{}}a=2a=a
k:\ y=-2\frac23x+bk:y=-2\frac23x+bk:y=-2\frac23x+bk:y=-2\frac23x+bk:y=-2\frac23x+k:y=-2\frac23xk:y=-2\frac23k:y=-\frac23k:y=-3\frac23k:y=-\frac23k:y=--\frac23k:y=--\frac{2}{\placeholder{}}k:y=--2k:y=--k:y=-k:y=k:yk:kgaat door het puntA\left(-1{,}-3\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac13\right)A\left(-1{,}-3-\frac{1}{\placeholder{}}\right)A\left(-1{,}-3-1\right)A\left(-1{,}-3-\right)A\left(-1{,}-3\right)A\left(-1{,}-\right)A\left(-1{,}\right)A\left(-1\right)A\left(-\right)A\left(\right)
-2\frac23\cdot-1+b=-3\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-2\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-\frac13-2\frac23\cdot-1+b=-\frac{1}{\placeholder{}}-2\frac23\cdot-1+b=-1-2\frac23\cdot-1+b=--2\frac23\cdot-1+b=-2\frac23\cdot-1+b-2\frac23\cdot-1+-2\frac23\cdot-1-2\frac23\cdot--2\frac23\cdot-2\frac23-2-\frac23-2-\frac{2}{\placeholder{}}-2-2-2--2-
2\frac23+b=-3\frac132\frac23+b=-3-\frac132\frac23+b=-3-\frac{1}{\placeholder{}}2\frac23+b=-3-12\frac23+b=-3-2\frac23+b=-32\frac23+b=-2\frac23+b=2\frac23+b2\frac23+2\frac23\frac23\frac{2}{\placeholder{}}2
b=-6b=-b=b
Dusk:\ y=-2\frac23x-6k:y=-2\frac23x-6k:y=-2\frac23x-6k:y=-2\frac23x-6k:y=-2\frac23x-k:y=-2\frac23xk:y=-2\frac23k:y=-2-\frac23k:y=-2-\frac{2}{\placeholder{}}k:y=-2-2k:y=-2-k:y=-2k:y=-k:y=k:yk:kkk:kk:kkk\text{ÿ}k\text{ÿ=}k\text{ÿ}k
Opdracht 1b: Bepaal de extreme waarden vanf\left(x\right)f\left(\right)
Gebruik de afgeleidef^{\prime}(x)=\frac13-\frac{3}{x^2}f^{\prime}(x)=\frac13-\frac{3}{x}f^{\prime}(x)=\frac13-\frac{3}{\placeholder{}}f^{\prime}(x)=\frac13-3f^{\prime}(x)=\frac13-f^{\prime}(x)=\frac13f^{\prime}(x)=\frac{1}{}f^{\prime}(x)=\frac12f^{\prime}(x)=\frac{1}{\placeholder{}}f^{\prime}(x)=1f^{\prime}(x)=en stel deze gelijk aanomdat de hellingen bij de extreme waarden horizontaal zijn.
•Los de vergelijking op voorx.
f^{\prime}\left(x\right)=0f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)0f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}fgeeft \frac13-\frac{3}{x^{^2}}=0\frac13-\frac{3}{x^{^2}}=\frac13-\frac{3}{x^{^2}}\frac13-\frac{3}{x}\frac13-\frac{3}{\placeholder{}}\frac13-3\frac13-\frac13\frac{1}{\placeholder{}}1
\frac13=\frac{3}{x^2}\frac13=\frac{3}{x}\frac13=\frac{3}{\placeholder{}}\frac13=3\frac13=\frac13\frac{1}{\placeholder{}}1
x^2=9x^2=x^2x
x=3\vee x=-3x=3\vee x=-x=3\vee x=-2x=3\vee x=-x=3\vee x=x=3\vee xx=3\veex=3x=3x=3x=3x=3x=x
vold. vold.
Gebruik de gevondenx\text{-coördinaten}x\text{-coördinaten}x\text{-coordinaten}xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxom de bijbehorendey\text{-coördinaten}te berekenen.
•Het minimum vanf\left(3\right)=2f\left(3\right)=-2f\left(3\right)=-f\left(3\right)=f\left(3\right)f\left(\right)f
•Het maximum vanf\left(-3\right)=-2f\left(-3\right)=-f\left(-3\right)=f\left(-3\right)f\left(-\right)f\left(\right)f
Visualisatie
Bij het werken met deze onderwerpen is het handig om visuele elementen zoals grafieken van de functies en hun raaklijnen weer te geven. Dit helpt je een beter begrip te krijgen van hoe afgeleiden werken en hoe ze gerelateerd zijn aan de grafiek van de functie.
