Cirkelvergelijkingen

Cirkelvergelijkingen

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 13:03
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (5)Oefen de bijbehorende opgaven
Begrippen (9)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de algemene formule van een cirkel afleiden met behulp van de afstandsformule.

•Je kunt in verschillende situaties de vergelijking van een cirkel opstellen.

De cirkelvergelijking uitgelegd

Een cirkel is een verzameling van alle punten die op een vaste afstand liggen van een bepaald middelpunt. Deze vaste afstand noemen we de straal (aangegeven metr). Het middelpunt van de cirkel noteren we vaak alsMmet coördinaten(x_M, y_M). Elk puntPop de cirkel heeft dan coördinaten(x,y).

De afstand tussen twee punten en Pythagoras

Stel, je hebt twee punten,M(x_M, y_M)enP(x,y). De afstand tussen deze twee punten kun je berekenen met een formule die is afgeleid van de stelling van Pythagoras. Denk aan een rechthoekige driehoek waarbij het verschil in de x-coördinaten en het verschil in de y-coördinaten de rechthoekszijden zijn, en de afstandMPde schuine zijde.

Een assenstelsel met punt M, een willekeurig punt P, en een rechthoekige driehoek waarbij de rechthoekszijden de verschillen in x- en y-coördinaten zijn en de hypotenusa de afstand MP.
Een assenstelsel met punt M, een willekeurig punt P, en een rechthoekige driehoek waarbij de rechthoekszijden de verschillen in x- en y-coördinaten zijn en de hypotenusa de afstand MP.

De afstandMPwordt dan berekend met:MP = \sqrt{(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2}

Afleiden van de algemene cirkelvergelijking

Stel, we hebben een middelpuntM(4,3)en een puntP(x,y). De afstand tussenMenPis2. Als we deze punten in een assenstelsel zouden tekenen, isMeen vast punt.Pkan overal liggen, zolang de afstand totMmaar2is. Als je alle mogelijke puntenPtekent die aan deze voorwaarde voldoen, ontstaat er een cirkel.

Een assenstelsel met punt M(4,3) en meerdere punten P die op een afstand van 2 van M liggen, zodat ze een cirkel vormen.
Een assenstelsel met punt M(4,3) en meerdere punten P die op een afstand van 2 van M liggen, zodat ze een cirkel vormen.

We kunnen de afstandMPuitdrukken inxenyen deze gelijkstellen aan de straalr. In dit voorbeeld isr=2.

MP = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2}

Aangezien de afstandMPgelijk is aanr=2, krijgen we:

\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2} = 2

Om de wortel weg te werken, kwadrateren we beide zijden van de vergelijking:

(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 2^2

(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4

Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpuntM(4,3)en straalr=2.

In het algemeen geldt voor een cirkel met middelpuntM(x_M, y_M)en straalrde volgende algemene formule:(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2

Cirkelvergelijkingen opstellen in verschillende situaties

Situatie 1: Middelpunt en straal bekend

Opgave 1: Stel een vergelijking op van cirkelc_1met middelpuntM(1, -4)en straalr=5.

Uitwerking:

We gebruiken de algemene formule:(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2.

Gegeven zijn:x_M = 1, y_M = -4enr = 5.

We vullen deze waarden in de formule in:

(x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = 5^2

(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25

Dit is de vergelijking van cirkelc_1.

Situatie 2: Middelpunt en een punt op de cirkel (de oorsprong) bekend

Opgave 2: Stel een vergelijking op van cirkelc_2met middelpuntM(2, 5)die door de oorsprong gaat.

Uitwerking:

We weten het middelpuntM(2,5)en een punt op de cirkel, de oorsprongO(0,0). De straalris de afstand tussen het middelpunt en een punt op de cirkel. In dit geval isrde afstand tussenM(2,5)enO(0,0). We berekenenrmet de afstandsformule:

r = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 5)^2}

r = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2}

r = \sqrt{4 + 25}

r = \sqrt{29}

Voor de cirkelvergelijking hebben wer^2nodig. In dit geval isr^2 = (\sqrt{29})^2 = 29. Nu vullen wex_M = 2, y_M = 5enr^2 = 29in de algemene formule in:

(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 29

Dit is de vergelijking van cirkelc_2.

Tip: Je kunt ook directr^2berekenen door de wortel aan het einde van de afstandsformule weg te laten.

Situatie 3: Middelpunt en een willekeurig punt op de cirkel bekend

Opgave 3: Stel een vergelijking op van cirkelc_3met middelpuntM(-2, 6)die door het puntA(3, -1)gaat.

Uitwerking:

Net als in situatie 2 berekenen we de straal door de afstand tussenM(-2,6)enA(3,-1)te bepalen. Dit keer berekenen we directr^2.

r^2 = (x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2

r^2 = (3 - (-2))^2 + (-1 - 6)^2

r^2 = (3 + 2)^2 + (-7)^2

r^2 = 25 + 49

r^2 = 74

Nu vullen wex_M = -2,y_M = 6enr^2 = 74in de algemene formule in:

(x - (-2))^2 + (y - 6)^2 = 74

(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 74

Dit is de vergelijking van cirkelc_3.

Situatie 4: Middelpunt en raaklijn aan de x-as bekend

Opgave 4: Stel een vergelijking op van cirkelc_4met middelpuntM(5, 3)die de x-as raakt.

Uitwerking:

We weten het middelpuntM(5,3). De cirkel raakt de x-as. Dit betekent dat de afstand van het middelpunt tot de x-as gelijk is aan de straalr. De afstand van een punt(x_M, y_M)tot de x-as is de absolute waarde van de y-coördinaat, dus|y_M|. In dit geval isy_M = 3, dusr = |3| = 3. Daarmee isr^2 = 3^2 = 9.

Een assenstelsel met middelpunt M(5,3) en een cirkel die de x-as raakt. Teken een loodlijn van M naar de x-as en label deze met r.
Een assenstelsel met middelpunt M(5,3) en een cirkel die de x-as raakt. Teken een loodlijn van M naar de x-as en label deze met r.

Nu vullen wex_M = 5,y_M = 3enr^2 = 9in de algemene formule in:

(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 9

Dit is de vergelijking van cirkelc_4.

Situatie 5: Middelpunt op een lijn, straal en raaklijn aan de x-as bekend

Opgave 5: Gegeven is de lijnk: y = \frac{1}{2}x - 1. Er zijn twee cirkelsc_1enc_2waarvan het middelpunt op lijnkligt, die een straal van5hebben en de x-as raken. Stel van zowelc_1alsc_2een vergelijking op.

Uitwerking:

We weten dat de straalr=5. Omdat de cirkels de x-as raken, is de afstand van het middelpuntM(x_M, y_M)tot de x-as gelijk aanr. Dit betekent dat de y-coördinaat van het middelpunt,y_M, gelijk moet zijn aanrof-r. Dusy_M = 5ofy_M = -5.

Een assenstelsel met de lijn k: y = 0,5x - 1. Teken twee cirkels die de x-as raken met straal 5 en waarvan de middelpunten M1 en M2 op lijn k liggen.
Een assenstelsel met de lijn k: y = 0,5x - 1. Teken twee cirkels die de x-as raken met straal 5 en waarvan de middelpunten M1 en M2 op lijn k liggen.

Nu moeten we de x-coördinaten van de middelpunten bepalen. Aangezien de middelpunten op lijnkliggen, kunnen we de gevondeny_M\text{-waarden}invullen in de vergelijking van lijnk.

Geval 1:y_M = 5

Vuly_M = 5in de vergelijking van lijnk:

5 = \frac{1}{2}x_M - 1

6 = \frac{1}{2}x_M

x_M = 12

Het middelpunt van cirkelc_1isM_1(12, 5). De straal isr=5, dusr^2=25. De vergelijking vanc_1is:

(x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 25

Geval 2:y_M = -5

Vuly_M = -5in de vergelijking van lijnk:

-5 = \frac{1}{2}x_M - 1

-4 = \frac{1}{2}x_M

x_M = -8

Het middelpunt van cirkelc_2isM_2(-8, -5). De straal isr=5, dusr^2=25. De vergelijking vanc_2is:

(x - (-8))^2 + (y - (-5))^2 = 25

(x + 8)^2 + (y + 5)^2 = 25

Dit zijn de vergelijkingen van de twee cirkels.

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.