Bijzondere rechthoekige driehoeken

Leerdoelen

•Je kunt de verhouding van de zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek benoemen en toepassen.

•Je kunt de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek met hoeken van 30, 60 en 90 graden benoemen en toepassen.

Wat zijn bijzondere rechthoekige driehoeken?

In de wiskunde kom je soms driehoeken tegen die speciale eigenschappen hebben, waardoor je de lengtes van hun zijden makkelijk kunt bepalen met behulp van vaste verhoudingen. Dit zijn de zogenaamde bijzondere rechthoekige driehoeken. Ze zijn "bijzonder" omdat hun hoeken bepaalde vaste waarden hebben, wat leidt tot herkenbare verhoudingen tussen de zijden. Dit bespaart je soms een hoop rekenwerk met de stelling van Pythagoras, hoewel Pythagoras altijd de basis blijft voor deze verhoudingen. We bespreken er twee: de 30-60-90-driehoek en de 45-45-90-driehoek.

De 30-60-90-driehoek

Een rechthoekige driehoek waarvan de scherpe hoeken 30 en 60 graden zijn, heeft een speciale verhouding tussen zijn zijden. Dit type driehoek wordt de 30-60-90-driehoek genoemd.

Ontdekking vanuit een gelijkzijdige driehoek

Om de verhoudingen van een 30-60-90-driehoek te begrijpen, beginnen we met een gelijkzijdige driehoek. Stel je hebt een gelijkzijdige driehoek ABC (afbeelding 1). Dit betekent dat alle zijden even lang zijn en alle hoeken 60 graden. Voor het gemak nemen we aan dat elke zijde lengte 2 heeft. Teken nu een hoogtelijn vanuit hoek C naar zijde AB. Noem het snijpunt D. Deze hoogtelijn staat loodrecht op AB, dus hoek ADC is 90 graden. Omdat het een gelijkzijdige driehoek is, halveert de hoogtelijn ook hoek C (in de gelijkzijdige driehoek) en zijde AB. Dit betekent dat hoek ACD nu 30 graden is (de helft van 60 graden) en zijde AD lengte 1 heeft (de helft van AB = 2).

Nu hebben we de rechthoekige driehoek ADC met hoeken van 30, 60 en 90 graden. We kennen al twee zijden: de schuine zijde AC is 2 en de korte rechthoekszijde AD is 1. De lengte van de andere rechthoekszijde, CD (de hoogtelijn), kunnen we berekenen met de stelling van Pythagoras: CD = $\sqrt{\text{AC}^2 - \text{AD}^2}$ CD = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ CD = $\sqrt{4 - 1}$ CD = $\sqrt{3}$

De verhoudingen

Zoals je ziet, zijn de zijden van deze 30-60-90-driehoek 1(AD),\,2(AC) en $\sqrt{3}$ (CD). Deze lengtes vormen een vaste verhouding. De korte rechthoekszijde (tegenover de hoek van 30 graden) is de kleinste, de schuine zijde is de grootste, en de lange rechthoekszijde (tegenover de hoek van 60 graden) zit ertussenin.

De verhouding van de zijden in een 30-60-90-driehoek is dus: korte rechthoekszijde : schuine zijde : lange rechthoekszijde = 1 : 2 : $\sqrt{3}$

De 45-45-90-driehoek (gelijkbenige rechthoekige driehoek)

De tweede bijzondere rechthoekige driehoek is de 45-45-90-driehoek. Dit is een rechthoekige driehoek waarvan de twee scherpe hoeken beide 45 graden zijn (afbeelding 2). Dit betekent dat de driehoek ook gelijkbenig is, want de zijden tegenover gelijke hoeken zijn ook gelijk. De twee rechthoekszijden zijn dus even lang.

De verhoudingen

Laten we de lengte van de rechthoekszijden voor het gemak op 1 stellen. Met de stelling van Pythagoras kunnen we dan de lengte van de schuine zijde berekenen:

Schuine zijde = \sqrt{1^2 + 1^2} Schuine zijde =\sqrt{1 + 1}

Schuine zijde = $ \sqrt{2} $

De verhouding van de zijden in een 45-45-90-driehoek is dus: rechthoekszijde : andere rechthoekszijde : schuine zijde = 1:1:\sqrt{2}

Toepassingen en rekenvoorbeelden

De kracht van deze verhoudingen ligt in hun toepasbaarheid. Als je één zijde van een bijzondere rechthoekige driehoek weet, kun je de andere zijden berekenen zonder uitgebreide Pythagoras-berekeningen.

Zijden berekenen in een 30-60-90-driehoek

Voorbeeld 1: Gegeven is rechthoekige driehoek KLM (afbeelding 3) met hoek L = 90 graden, hoek M = 60 graden en zijde KM = 4\sqrt{3}. Bereken de lengtes van KL en LM.

Uitwerking:

1.Bepaal de hoeken: Hoek L is 90 graden, hoek M is 60 graden. De som van de hoeken in een driehoek is 180 graden, dus hoek K = $180 - 90 - 60 = 30$ graden. Dit is dus een 30-60-90-driehoek.

2.Koppel zijden aan verhoudingen:

1.De korte rechthoekszijde (tegenover 30 graden) is LM. Deze hoort bij verhouding 1.

2.De schuine zijde (tegenover 90 graden) is KM. Deze hoort bij verhouding 2.

3.De lange rechthoekszijde (tegenover 60 graden) is KL. Deze hoort bij verhouding \sqrt{3}.

3.Gebruik de gegeven zijde: we weten dat KM = 4\sqrt{3}. Dit komt overeen met de verhouding 2.

4.Bereken de 'eenheidsfactor': om terug te rekenen naar de basisverhouding 1, deel je de gegeven lengte door zijn bijbehorende verhoudingsgetal. Eenheidsfactor = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.

5.Bereken de onbekende zijden:

1.LM (verhouding 1):LM = \text{eenheidsfactor} \times 1 = 2\sqrt{3} \times 1 = 2\sqrt{3}.

2.KL (verhouding \sqrt{3}): KL=\text{eenheidsfactor}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\times\sqrt{3}=2\times3=6

Dus, KL = 6 en LM =2\sqrt{3}

Zijden berekenen in gecombineerde driehoeken

Soms zijn er meerdere bijzondere driehoeken in één figuur. Dan is het de kunst om de gemeenschappelijke zijde te gebruiken om van de ene driehoek naar de andere te 'hoppen'.

Voorbeeld 2: Gegeven is de figuur hieronder, met driehoek ABC en hoogtelijn CD (afbeelding 4). Hoek A = 30 graden, hoek B = 45 graden, hoek D = 90 graden (CD staat loodrecht op AB). Zijde AD = 5\sqrt{3}. Bereken de lengte van BC.

Uitwerking:

1.Analyseer de driehoeken:

1.Driehoek ADC: Hoek D = 90 graden, hoek A = 30 graden. Dus hoek ACD = 180 - 90 - 30 = 60graden. Dit is een 30-60-90-driehoek.

2.Driehoek BCD: Hoek D = 90 graden, hoek B = 45 graden. Dus hoek BCD = 180 - 90 - 45 = 45 graden. Dit is een 45-45-90-driehoek (gelijkbenig rechthoekig).

2.Identificeer de verbindende zijde: zijde CD is gemeenschappelijk voor beide driehoeken.

3.Bereken CD met driehoek ADC:

1.In 30-60-90-driehoek ADC:

1.AD is de lange rechthoekszijde (tegenover 60 graden) en komt overeen met de verhouding \sqrt{3}.

2.CD is de korte rechthoekszijde (tegenover 30 graden) en komt overeen met verhouding 1.

2.Gegeven: AD = 5\sqrt{3}

3.CD = \frac{\text{AD}}{\text{verhouding van AD}} \times \text{verhouding van CD} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \times 1 = 5 \times 1 = 5 Dus, CD = 5

4.Bereken BC met driehoek BCD:

1.In 45-45-90-driehoek BCD:

1.CD is een rechthoekszijde, komt overeen met verhouding 1.

2.BC is de schuine zijde, komt overeen met verhouding \sqrt{2}.

2.Nu weten we CD = 5.

3.BC = \frac{\text{CD}}{\text{verhouding van CD}} \times \text{verhouding van BC} = \frac{5}{1} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

Dus, BC = 5\sqrt{2}

Een bewijsopdracht met bijzondere driehoeken

Soms wordt je gevraagd om een uitdrukking te bewijzen. Hierbij gebruik je dezelfde principes, maar dan met variabelen.

Voorbeeld 3: Gegeven is de figuur hieronder, met driehoek ABC en hoogtelijn CD (afbeelding 5). Hoek A = 60 graden, hoek B = 45 graden, hoek D = 90 graden. De totale lengte van zijde AB is 8. Bewijs dat BD = \frac{24}{\sqrt{3} + 3}.

Uitwerking:

1.Definieer de onbekende: we moeten BD bewijzen, dus laten we BD = X stellen.

2.Analyseer de driehoeken:

1.Driehoek BCD: Hoek D = 90 graden, hoek B = 45 graden. Dus hoek BCD = 45 graden. Dit is een 45-45-90-driehoek.

1.In deze driehoek zijn BD en CD de rechthoekszijden. Omdat het een 45-45-90-driehoek is, geldt BD = CD.

2.Dus, CD = X.

2.Driehoek ADC: Hoek D = 90 graden, hoek A = 60 graden. Dus hoek ACD = 30 graden. Dit is een 30-60-90-driehoek.

1.CD is de lange rechthoekszijde (tegenover 60 graden), verhouding \sqrt{3}.

2.AD is de korte rechthoekszijde (tegenover 30 graden), verhouding 1.

3.We weten CD = X. Om AD te vinden: AD = \frac{\text{CD}}{\text{verhouding van CD}} \times \text{verhouding van AD} = \frac{\text{X}}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{\text{X}}{\sqrt{3}}

4.Om de noemer wortelvrij te maken, vermenigvuldig je met \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ (dit is slimme 1): AD = $\frac{\text{X}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\text{X}\sqrt{3}}{3}

3.Gebruik de totale lengte: we weten dat AB = AD + BD = 8

1.Vul de uitdrukkingen voor AD en BD in: \frac{\text{X}\sqrt{3}}{3} + \text{X} = 8

4.Los de vergelijking op voor X:

1.Haal X buiten haakjes: \text{X}\left(\frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right) = 8

2.Om de term tussen haakjes makkelijker te maken, maak je de noemers gelijk: \text{X}\left(\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}\right) = 8

3.\text{X}\left(\frac{\sqrt{3} + 3}{3}\right) = 8

4.Deel beide kanten door de factor van X: \text{X} = \frac{8}{\left(\frac{\sqrt{3} + 3}{3}\right)}

5.Vermenigvuldig met de omgekeerde breuk: \text{X} = 8 \times \frac{3}{\sqrt{3} + 3}

6.\text{X} = \frac{24}{\sqrt{3} + 3}

Aangezien we BD = X hadden gesteld, hebben we bewezen dat BD = \frac{24}{\sqrt{3} + 3}