De eenheidscirkel, sinus en cosinus

De eenheidscirkel, sinus en cosinus

Wil je hogere cijfers halen in minder tijd?

Met JoJoschool weet je waar je staat, wat je nog moet doen en wanneer het genoeg is. Klaar? Tijd voor leuke dingen.

  • Haal hogere cijfers met uitleg voor elk boek op school
  • Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden
  • Loop je vast? Ainstein, je AI-tutor, kijkt met je mee en helpt je verder
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt beschrijven wat een eenheidscirkel is, inclusief de eigenschappen van middelpunt en straal.

•Je kunt de draaiingshoek van puntPop de eenheidscirkel bepalen, zowel positief als negatief.

•Je kunt de x- en y-coördinaten van een puntPop de eenheidscirkel berekenen, gegeven de draaiingshoek.

•Je kunt de mogelijke draaiingshoeken berekenen wanneer één coördinaat van puntPgegeven is.

Wat is een eenheidscirkel?

Een eenheidscirkel is een speciale cirkel in de wiskunde. Het unieke aan deze cirkel is dat het middelpunt altijd in de oorsprong (het punt\left(0,0\right)) van een coördinatenstelsel ligt en de straal van de cirkel precies één is. Een puntPbeweegt zich over deze cirkel. Het startpunt vanPis altijd in het punt\left(1,0\right). Op dit punt is de draaiingshoek vanPnog nul graden.

De beweging van puntPen de draaiingshoek

Zodra puntPzich over de eenheidscirkel begint te verplaatsen, maakt het een draaiingshoek. Deze hoek wordt gemeten vanaf het positieve deel van de x-as (waarPstart) tegen de klok in voor positieve hoeken. Het rode pijltje geeft de draaiingshoek aan.

De eenheidscirkel met punt P op (1,0)
De eenheidscirkel met punt P op (1,0)

Laten we de beweging vanPverder bekijken:

•AlsP90 graden gedraaid heeft, bevindt het zich in het punt (0,1).

•Bij een draaiing van 180 graden zitPin het punt (-1,0).

•Na 270 graden draaien, isPin het punt (0,-1).

•AlsPeen heel rondje heeft gemaakt, dus 360 graden gedraaid heeft, is het weer terug bij het startpunt (1,0). De plaats vanPis dus hetzelfde bij 0 graden en bij 360 graden.

De eenheidscirkel met punt P op de kwartpunten (90, 180, 270, 360 graden)
De eenheidscirkel met punt P op de kwartpunten (90, 180, 270, 360 graden)

PuntPkan ook de andere kant op draaien, dus met de klok mee. In dat geval spreken we van een negatieve draaiingshoek, wat betekent dat de hoek kleiner is dan nul.

De eenheidscirkel met een negatieve draaiingshoek (met de klok mee)
De eenheidscirkel met een negatieve draaiingshoek (met de klok mee)

Coördinaten van puntPberekenen met de draaiingshoek

Stel je voor dat puntPzich op de eenheidscirkel bevindt. We tekenen een loodlijn vanuitPnaar de x-as. Het snijpunt met de x-as noemen weQ. Nu ontstaat er een rechthoekige\triangle OPQ, waarbijOde oorsprong is. De schuine zijdeOPis de straal van de cirkel en is dus altijd1. De draaiingshoek vanPis\alphain de driehoek alsPzich in het eerste kwadrant bevindt.

De eenheidscirkel met punt P in het eerste kwadrant, de loodlijn naar de x-as (Q), en de rechthoekige driehoek OPQ met hoek alfa aangegeven.
De eenheidscirkel met punt P in het eerste kwadrant, de loodlijn naar de x-as (Q), en de rechthoekige driehoek OPQ met hoek alfa aangegeven.

Met behulp van SOS, CAS, TOA weten we:

•Voor de sinus geldt\sin\left(\alpha\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}. In onze driehoek is dit\frac{PQ}{OP}. OmdatOP = 1, is\sin(\alpha)=PQ.PQis de hoogte vanP, en daarmee de y-coördinaat vanP.

•Voor de cosinus geldt\cos\left(\alpha\right)=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}. In onze driehoek is dit\frac{OQ}{OP}. OmdatOP = 1, is\cos\left(\alpha\right)=OQ.OQis de afstand van de oorsprong totQlangs de x-as, en daarmee de x-coördinaat vanP.

Samengevat:

•De y-coördinaat vanPis\sin(\text{draaiingshoek}).

•De x-coördinaat vanPis\cos(\text{draaiingshoek}).

Rekenvoorbeeld: draaiingshoek van 54 graden

Stel, de draaiingshoek is 54 graden. We willen de coördinaten vanPberekenen.

Bereken de y-coördinaat:

•y=\sin(54\degree)

•\sin(54\degree)\approx0{,}809\ldots

•Afgerond op twee decimalen:0{,}81

Bereken de x-coördinaat:

•x=\cos(54\degree)

•\cos(54\degree)\approx0{,}587\ldots

•Afgerond op twee decimalen:0{,}59

Dus de coördinaten vanPzijn ongeveer\left(0{,}59;0{,}81\right). Als je naar een plaatje van de eenheidscirkel met een hoek van 54 graden kijkt, zie je dat dit inderdaad klopt:Pligt in het eerste kwadrant, dus zowel de x als de y zijn positief en kleiner dan 1.

Rekenvoorbeeld: draaiingshoek van 153 graden

Stel, de draaiingshoek is 153 graden.Pbevindt zich nu in het tweede kwadrant. De correcte en eenvoudige methode is om direct de sinus en cosinus van de volledige draaiingshoek te gebruiken:

Bereken de y-coördinaat:

•y=\sin(153\degree)\approx0{,}45

Bereken de x-coördinaat:

•x=\cos(153\degree)\approx-0{,}89

De coördinaten vanPzijn dus ongeveer\left(-0{,}89;0{,}45\right). Dit klopt perfect: in het tweede kwadrant is de x-coördinaat negatief en de y-coördinaat positief. Merk op dat\sin(27\degree)en\sin(153\degree)inderdaad dezelfde positieve waarde geven, omdat deze punten (op de eenheidscirkel) dezelfde y-coördinaat hebben.

De eenheidscirkel met P op 153 graden
De eenheidscirkel met P op 153 graden

Een alternatieve, maar omslachtigere methode is het gebruik van een hulphoek (bèta):180\degree-153\degree=27\degree. Je zou dan\sin(27\degree)en\cos(27\degree)berekenen.

•\sin(27\degree)\approx0{,}45

•\cos(27\degree)\approx0{,}89

Als je dan naar de coördinaten vanPin het tweede kwadrant kijkt, is de y-coördinaat positief (wat klopt met 0,45), maar de x-coördinaat is negatief. Omdat\cos(27\degree)positief is, zou je een aanpassing moeten doen\left(x=-\cos(27\degree)\right). Dit is omslachtig.

Rekenvoorbeeld: draaiingshoek van 251 graden

Een laatste voorbeeld in het derde kwadrant, met een draaiingshoek van 251 graden.

Bereken de y-coördinaat:

•y=\sin(251\degree)\approx-0{,}95

Bereken de x-coördinaat:

•x=\cos(251\degree)\approx-0{,}33

De coördinaten vanPzijn dus ongeveer\left(-0{,}33;-0{,}95\right). In het derde kwadrant zijn zowel dexals deynegatief, dus dit klopt.

De eenheidscirkel met P op 251 graden
De eenheidscirkel met P op 251 graden

De draaiingshoek berekenen vanuit coördinaten

Soms weet je één van de coördinaten van puntPen wil je juist de draaiingshoek berekenen. Hiervoor gebruiken we de inverse functies van sinus en cosinus: arcsin\left(\sin^{-1}\right)en arccos\left(\cos^{-1}\right).

Let op: een rekenmachine geeft altijd de "standaard" hoek, meestal in het eerste/vierde kwadrant voor\sin^{-1}of het eerste/tweede kwadrant voor\cos^{-1}. Echter, vanwege de symmetrie van de eenheidscirkel zijn er vaak twee draaiingshoeken mogelijk voor een gegeven x- of y-coördinaat. Gebruik daarom altijd een schets van de eenheidscirkel om te controleren in welk kwadrant puntPzich bevindt en om de juiste hoek te bepalen.

De eenheidscirkel met twee punten P en P' die dezelfde y-coördinaat hebben
De eenheidscirkel met twee punten P en P' die dezelfde y-coördinaat hebben

Rekenvoorbeeld: y-coördinaat vanPis0{,}42

Gegeven is dat de y-coördinaat vanPgelijk is aan0{,}42. De plaats vanPis in het tweede kwadrant. We willen de draaiingshoek\alphaberekenen.

Gebruik de inverse sinus:

•\sin(\alpha)=0{,}42

•\alpha_1=\sin^{-1}(0{,}42)=24{,}83\ldots\degree

Controleer met het plaatje:

•De rekenmachine geeft 24,83 graden. Dit is een hoek in het eerste kwadrant (laatP'dat punt zijn).

•Volgens de opdracht bevindtPzich in het tweede kwadrant, dus de hoek moet groter zijn dan 90 graden.

De eenheidscirkel met twee punten P' (in Q1) en P (in Q2) die beide y=0,42 hebben.
De eenheidscirkel met twee punten P' (in Q1) en P (in Q2) die beide y=0,42 hebben.

Bereken de correcte draaiingshoek:

•Omdat de eenheidscirkel symmetrisch is, is er nog een hoek met dezelfde y-coördinaat. Deze vind je in het tweede kwadrant door 180 graden min de gevonden hoek te doen.

•\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)=155{,}17\ldots\degree

•Afgerond op één decimaal: 155,2 graden. Dit komt overeen met de positie vanPin het tweede kwadrant.

Rekenvoorbeeld: x-coördinaat vanPis-0{,}36

Gegeven is dat de x-coördinaat vanPgelijk is aan-0{,}36. De plaats vanPis in het derde kwadrant. We willen de draaiingshoek\alphaberekenen.

Gebruik de inverse cosinus:

•\cos(\alpha)=-0{,}36

•\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)=111{,}10\ldots\degree

Controleer met het plaatje:

•De rekenmachine geeft 111,10 graden. Dit is een hoek in het tweede kwadrant (laatP'dat punt zijn).

•Volgens de opdracht bevindtPzich in het derde kwadrant, dus de hoek moet groter zijn dan 180 graden.

De eenheidscirkel met twee punten P' (in Q2) en P (in Q3) die beide x = -0,36 hebben.
De eenheidscirkel met twee punten P' (in Q2) en P (in Q3) die beide x = -0,36 hebben.

Bereken de correcte draaiingshoek:

•De hoek van 111,10 graden is de hoek naar het puntP'in het tweede kwadrant. De rekenmachine geeft de hoek voor een punt in het tweede kwadrant. Vanwege de symmetrie ten opzichte van de x-as is de hoek naar het punt in het derde kwadrant te berekenen met360°min de gevonden hoek.

•\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)=248{,}90\ldots\degree

•Afgerond op één decimaal: 248,9 graden. Dit komt overeen met de positie vanPin het derde kwadrant.

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 12:22
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Bekijk ook

De eenheidscirkel, sinus en cosinus: uitleg, samenvatting en oefenen

Krijg de beste uitleg over cirkel, cirkels, coordinaat, coordinaten, cosinus, draaiingshoek, draaiingshoeken, eenheidscirkel, graad, graden en sinus. Op deze pagina vind je:

  • Uitleg: stap-voor-stap uitleg over de theorie, voorbeelden, tips en veelgemaakte fouten.
  • Een samenvatting: leerdoelen, kernbegrippen, stappen en voorbeelden over De eenheidscirkel, sinus en cosinus.
  • Oefenen: meerkeuze & open vragen met feedback, passend bij havo 4 - 5.

Ondersteund door Ainstein, onze AI-hulp die je vragen stap voor stap beantwoordt.

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.