De eenheidscirkel, sinus en cosinus

Leerdoelen

•Je kunt beschrijven wat een eenheidscirkel is, inclusief de eigenschappen van middelpunt en straal.

•Je kunt de draaiingshoek van puntop de eenheidscirkel bepalen, zowel positief als negatief.

•Je kunt de x- en y-coördinaten van een puntop de eenheidscirkel berekenen, gegeven de draaiingshoek.

•Je kunt de mogelijke draaiingshoeken berekenen wanneer één coördinaat van puntgegeven is.

Wat is een eenheidscirkel?

Een eenheidscirkel is een speciale cirkel in de wiskunde. Het unieke aan deze cirkel is dat het middelpunt altijd in de oorsprong (het punt\left(0,0\right)) van een coördinatenstelsel ligt en de straal van de cirkel precies één is. Een puntbeweegt zich over deze cirkel. Het startpunt vanis altijd in het punt\left(1,0\right). Op dit punt is de draaiingshoek vannog nul graden.

De beweging van punten de draaiingshoek

Zodra puntzich over de eenheidscirkel begint te verplaatsen, maakt het een draaiingshoek. Deze hoek wordt gemeten vanaf het positieve deel van de x-as (waarstart) tegen de klok in voor positieve hoeken. Het rode pijltje geeft de draaiingshoek aan.

Laten we de beweging vanverder bekijken:

•Als90 graden gedraaid heeft, bevindt het zich in het punt (0,1).

•Bij een draaiing van 180 graden zitin het punt (-1,0).

•Na 270 graden draaien, isin het punt (0,-1).

•Alseen heel rondje heeft gemaakt, dus 360 graden gedraaid heeft, is het weer terug bij het startpunt (1,0). De plaats vanis dus hetzelfde bij 0 graden en bij 360 graden.

Puntkan ook de andere kant op draaien, dus met de klok mee. In dat geval spreken we van een negatieve draaiingshoek, wat betekent dat de hoek kleiner is dan nul.

Coördinaten van puntberekenen met de draaiingshoek

Stel je voor dat puntzich op de eenheidscirkel bevindt. We tekenen een loodlijn vanuitnaar de x-as. Het snijpunt met de x-as noemen we. Nu ontstaat er een rechthoekige\triangle OPQOPQOPQOPQ, waarbijde oorsprong is. De schuine zijdeis de straal van de cirkel en is dus altijd. De draaiingshoek vanis\alpha\angle\alpha\angle\angle\angle\angle\angle\angle a\angle\angle\alpha\angle\angle\angle\angle\anglein de driehoek alszich in het eerste kwadrant bevindt.

Met behulp van SOS, CAS, TOA weten we:

•Voor de sinus geldt\sin\left(\alpha\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\angle\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\angle\alpha\right)=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\sin\left(\angle\alpha=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\right)\sin\angle\alpha=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}si\angle\alpha=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}s\angle\alpha=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle\alpha=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine ijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuineijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuinijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuiijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{scijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{sijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{zsijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\operatorname{ch}\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\operatorname{ch}u\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\operatorname{ch}u\in\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\operatorname{ch}ui\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\operatorname{ch}u\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\operatorname{ch}\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{sc\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{s\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdes}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdesc}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdesch}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdeschi}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdeschiu}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdeschiu}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdesch}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdesc}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijdes}}{\text{zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{overstaande zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{}{\placeholder{}}\angle a=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}\angle a=\angle a=\angle a=\angle a=\angle a\angle. In onze driehoek is dit\frac{PQ}{OP}\frac{PQ}{O}\frac{PQ}{\placeholder{}}PQPQ/PQ/O. Omdat, is\sin(\alpha)=PQ\sin()=PQ\sin(a)=PQsi(a)=PQs(a)=PQ(a)=PQs(a)=PQsi(a)=PQsin(a)=PQsin()=PQ.is de hoogte van, en daarmee de y-coördinaat van.

•Voor de cosinus geldt\cos\left(\alpha\right)=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}\cos\left(\angle\alpha\right)=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}\cos\left(\angle\alpha=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}\right)\cos\angle\alpha=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}co\angle\alpha=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}c\angle\alpha=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle\alpha=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendev zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendeve zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendever zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendevers zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendeverst zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendeversta zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendeverstaa zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendeverstaan zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendeverstaand zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendeverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggendverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggenverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggeverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliggverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanligverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanliverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanlverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aanverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{aaverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{averstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{oaverstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{a\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{aa\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{aan\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{aanl\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{aan\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{aa\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{a\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}\angle a=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}. In onze driehoek is dit\frac{OQ}{OP}\frac{OQ}{O}\frac{OQ}{\placeholder{}}OQOQ/OQ/O. Omdat, is\cos\left(\alpha\right)=OQ\cos\left(\right)=OQ\cos\left(a\right)=OQ\cos\left(\right)=OQ\cos)=OQco)=OQc)=OQ)=OQc)=OQco)=OQcos)=OQcos()=OQ.is de afstand van de oorsprong totlangs de x-as, en daarmee de x-coördinaat van.

Samengevat:

•De y-coördinaat vanis\sin(\text{draaiingshoek})\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin()\sin(d)\sin(dr)\sin(dra)\sin(draa)\sin(draai)\sin(draaii)\sin(draaiin)\sin(draaiing)\sin(draaiings)\sin(draaiingsh)\sin(draaiingsho)\sin(draaiingshoe)\sin(draaiingshoek)si(draaiingshoek)s(draaiingshoek)(draaiingshoek)s(draaiingshoek)si(draaiingshoek).

•De x-coördinaat vanis\cos(\text{draaiingshoek})\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos()\cos(d)\cos(draaiingshoek)\cos()\cos(d)\cos(dr)\cos(dra)\cos(draa)\cos(draai)\cos(draaii)\cos(draaiin)\cos(draaiing)\cos(draaiings)\cos(draaiingsh)\cos(draaiingsho)\cos(draaiingshoe)\cos(draaiingshoek)co(draaiingshoek)c(draaiingshoek)(draaiingshoek)c(draaiingshoek)co(draaiingshoek).

Rekenvoorbeeld: draaiingshoek van 54 graden

Stel, de draaiingshoek is 54 graden. We willen de coördinaten vanberekenen.

Bereken de y-coördinaat:

•y=\sin(54\degree)=\sin(54\degree)=\sin(54)=\sin(54)=\sin(54)=\sin(54)=\sin(54\degree)=si(54\degree)=s(54\degree)=(54\degree)=s(54\degree)=si(54\degree)

•\sin(54\degree)\approx0{,}809\ldots\sin(54)\approx0{,}809\ldots\sin(54\degree)\approx0{,}809\ldots\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\ldots\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\ldots\sin(54\degree)\approx0{,}80\sin(54\degree)\approx0{,}809\sin(54\degree)\approx0{,}809\ldots\sin(54\degree)0{,}809\ldots\sin(54\degree)\thickapprox0{,}809\ldots\sin(54\degree)\thickapprox0{,}809..\sin(54\degree)\thickapprox0{,}809.\sin(54\degree)\thickapprox0{,}809\sin(54\degree)\thickapprox0{,}809.\sin(54\degree)\thickapprox0{,}809..\sin(54\degree)\thickapprox0{,}809...\sin(54\degree)\thickapprox0809...\sin(54\degree)\thickapprox0,809...si(54\degree)\thickapprox0,809...s(54\degree)\thickapprox0,809...(54\degree)\thickapprox0,809...s(54\degree)\thickapprox0,809...si(54\degree)\thickapprox0,809...

•Afgerond op twee decimalen:0{,}81081

Bereken de x-coördinaat:

•x=\cos(54\degree)=\cos(54\degree)=\cos(54)=\cos(54\degree)=co(54\degree)=c(54\degree)=(54\degree)=c(54\degree)=co(54\degree)

•\cos(54\degree)\approx0{,}587\ldots\cos(54\degree)\approx0{,}587..\cos(54\degree)\approx0{,}587.\cos(54\degree)\approx0{,}587\cos(54\degree)\approx0{,}587.\cos(54\degree)\approx0{,}587..\cos(54\degree)\approx0{,}587...\cos(54)\approx0{,}587...\cos(54\degree)\approx0{,}587...\cos(54\degree)\approx\thickapprox0{,}587...\cos(54\degree)\thickapprox0{,}587...\cos(54\degree)\thickapprox0{,}587...\cos(54\degree)\thickapprox0{,}587...\cos(54\degree)\thickapprox0{,}587...\cos(54\degree)\thickapprox0{,}587...\cos(54\degree)\thickapprox0587...\cos(54\degree)\thickapprox0,587...co(54\degree)\thickapprox0,587...c(54\degree)\thickapprox0,587...(54\degree)\thickapprox0,587...c(54\degree)\thickapprox0,587...co(54\degree)\thickapprox0,587...

•Afgerond op twee decimalen:0{,}59059

Dus de coördinaten vanzijn ongeveer\left(0{,}59;0{,}81\right)\left(0{,}59;081\right)\left(0{,}59;0,81\right)\left(059;0,81\right)\left(0,59;0,81\right). Als je naar een plaatje van de eenheidscirkel met een hoek van 54 graden kijkt, zie je dat dit inderdaad klopt:ligt in het eerste kwadrant, dus zowel de x als de y zijn positief en kleiner dan 1.

Rekenvoorbeeld: draaiingshoek van 153 graden

Stel, de draaiingshoek is 153 graden.bevindt zich nu in het tweede kwadrant. De correcte en eenvoudige methode is om direct de sinus en cosinus van de volledige draaiingshoek te gebruiken:

Bereken de y-coördinaat:

•y=\sin(153\degree)\approx0{,}45=\sin(153\degree)\approx0{,}45=\sin(153\degree)\approx045=\sin(153\degree)\approx45=\sin(153\degree)45=\sin(153\degree)45=\sin(153\degree)45=\sin(153\degree)45=\sin(153\degree)45=\sin(153\degree)\thickapprox45=\sin(153\degree)\thickapprox045=\sin(153\degree)\thickapprox0,45=si(153\degree)\thickapprox0,45=s(153\degree)\thickapprox0,45=(153\degree)\thickapprox0,45=s(153\degree)\thickapprox0,45=si(153\degree)\thickapprox0,45

Bereken de x-coördinaat:

•x=\cos(153\degree)\approx-0{,}89=\cos(153\degree)\approx-0{,}89=\cos(153\degree)-0{,}89=\cos(153\degree)-0{,}89=\cos(153\degree)-0{,}89=\cos(153\degree)-0{,}89=\cos(153\degree)-0{,}89=\cos(153\degree)^{}-0{,}89=\cos(153\degree)^{}-0{,}89=\cos(153\degree)^{\prime}-0{,}89=\cos(153\degree)^{\prime}-0{,}89=\cos(153\degree)^{\prime}-0{,}89=\cos(153\degree)^{\prime}-0{,}89=\cos(153\degree)-0{,}89=\cos(153\degree)\thickapprox-0{,}89=\cos(153\degree)\thickapprox-089=\cos(153\degree)\thickapprox-0,89=co(153\degree)\thickapprox-0,89=c(153\degree)\thickapprox-0,89=(153\degree)\thickapprox-0,89=c(153\degree)\thickapprox-0,89=co(153\degree)\thickapprox-0,89

De coördinaten vanzijn dus ongeveer\left(-0{,}89;0{,}45\right)\left(-0{,}89;045\right)\left(-0{,}89;0,45\right)\left(-089;0,45\right)\left(-0,89;0,45\right). Dit klopt perfect: in het tweede kwadrant is de x-coördinaat negatief en de y-coördinaat positief. Merk op dat\sin(27\degree)si(27\degree)s(27\degree)en\sin(153\degree)si(153\degree)s(153\degree)(153\degree)z(153\degree)inderdaad dezelfde positieve waarde geven, omdat deze punten (op de eenheidscirkel) dezelfde y-coördinaat hebben.

Een alternatieve, maar omslachtigere methode is het gebruik van een hulphoek (bèta):180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180\degree-153\degree=27\degree180-153\degree=27\degree180-153\degree=27\degree180-153\degree=27\degree180-153\degree=27\degree180° - 153° = 27°180180-153\degree=27\degree-153\degree=27\degree180-153\degree=27\degree. Je zou dan\sin(27\degree)si(27\degree)s(27\degree)(27\degree)s(27\degree)sk(27\degree)sk\in(27\degree)sk\in(27\degree)sk(27\degree)s(27\degree)en\cos(27\degree)co(27\degree)c(27\degree)(27\degree)c(27\degree)co(27\degree)berekenen.

•\sin(27\degree)\approx0{,}45\sin(27\degree)0{,}45\sin(27\degree)\thickapprox0{,}45\sin(27\degree)\thickapprox045\sin(27\degree)\thickapprox0,45si(27\degree)\thickapprox0,45s(27\degree)\thickapprox0,45(27\degree)\thickapprox0,45s(27\degree)\thickapprox0,45si(27\degree)\thickapprox0,45

•\cos(27\degree)\approx0{,}89\cos(27\degree)0{,}89\cos(27\degree)\thickapprox0{,}89\cos(27\degree)\thickapprox089\cos(27\degree)\thickapprox0,89co(27\degree)\thickapprox0,89c(27\degree)\thickapprox0,89(27\degree)\thickapprox0,89c(27\degree)\thickapprox0,89co(27\degree)\thickapprox0,89

Als je dan naar de coördinaten vanin het tweede kwadrant kijkt, is de y-coördinaat positief (wat klopt met 0,45), maar de x-coördinaat is negatief. Omdat\cos(27\degree)co(27\degree)c(27\degree)(27\degree)c(27\degree)co(27\degree)positief is, zou je een aanpassing moeten doen\left(x=-\cos(27\degree)\right)\left(x=-\cos(27\degree)\right.\left(x=-\cos(27\degree\right)\left(x=-co(27\degree\right)\left(x=-c(27\degree\right)\left(x=-(27\degree\right)\left(x=-c(27\degree\right)\left(x=-co(27\degree\right)\left(x=-cos(27\degree\right). Dit is omslachtig.

Rekenvoorbeeld: draaiingshoek van 251 graden

Een laatste voorbeeld in het derde kwadrant, met een draaiingshoek van 251 graden.

Bereken de y-coördinaat:

•y=\sin(251\degree)\approx-0{,}95=\sin(251\degree)\approx-0{,}95=\sin(251\degree)-0{,}95=\sin(251\degree)\thickapprox-0{,}95=\sin(251\degree)\thickapprox-095=\sin(251\degree)\thickapprox-0,95=si(251\degree)\thickapprox-0,95=s(251\degree)\thickapprox-0,95=(251\degree)\thickapprox-0,95=s(251\degree)\thickapprox-0,95=si(251\degree)\thickapprox-0,95

Bereken de x-coördinaat:

•x=\cos(251\degree)\approx-0{,}33=\cos(251\degree)\approx-0{,}33=\cos(251\degree)-0{,}33=\cos(251\degree)\thickapprox-0{,}33=\cos(251\degree)\thickapprox-033=\cos(251\degree)\thickapprox-0,33=co(251\degree)\thickapprox-0,33=c(251\degree)\thickapprox-0,33=(251\degree)\thickapprox-0,33=c(251\degree)\thickapprox-0,33=co(251\degree)\thickapprox-0,33

De coördinaten vanzijn dus ongeveer\left(-0{,}33;-0{,}95\right)\left(-0{,}33;-095\right)\left(-0{,}33;-0,95\right)\left(-033;-0,95\right)\left(-0,33;-0,95\right). In het derde kwadrant zijn zowel deals denegatief, dus dit klopt.

De draaiingshoek berekenen vanuit coördinaten

Soms weet je één van de coördinaten van punten wil je juist de draaiingshoek berekenen. Hiervoor gebruiken we de inverse functies van sinus en cosinus: arcsin\left(\sin^{-1}\right)\sin^{-1}en arccos\left(\cos^{-1}\right)\cos^{-1}\cos^{}\cos^{}\cos^{-}\cos^{-1}\cos^{-}\coscocccocoscos^cos^{-}cos^{-}^.

Let op: een rekenmachine geeft altijd de "standaard" hoek, meestal in het eerste/vierde kwadrant voor\sin^{-1}ssisinsin^sin^{-}sin^{-}^of het eerste/tweede kwadrant voor\cos^{-1}. Echter, vanwege de symmetrie van de eenheidscirkel zijn er vaak twee draaiingshoeken mogelijk voor een gegeven x- of y-coördinaat. Gebruik daarom altijd een schets van de eenheidscirkel om te controleren in welk kwadrant puntzich bevindt en om de juiste hoek te bepalen.

Rekenvoorbeeld: y-coördinaat vanPP=P=0{,}42P=042is0{,}42

Gegeven is dat de y-coördinaat vangelijk is aan0{,}42042. De plaats vanis in het tweede kwadrant. We willen de draaiingshoek\alphaberekenen.

Gebruik de inverse sinus:

•\sin(\alpha)=0{,}42\sin()=0{,}42\sin(a)=0{,}42\sin(a)=042\sin(a)=0,42si(a)=0,42s(a)=0,42(a)=0,42s(a)=0,42si(a)=0,42sin(a)=0,42sin()=0,42

•\alpha_1=\sin^{-1}(0{,}42)=24{,}83\ldots\degree\alpha_1=\sin^{-1}(0{,}42)=24{,}83..\degree\alpha_1=\sin^{-1}(0{,}42)=24{,}83.\degree\alpha_1=\sin^{-1}(0{,}42)=24{,}83\degree\alpha_1=\sin^{-1}(0{,}42)24{,}83\degree\alpha_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83\degree_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83\degreea_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83\degreea_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83a_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83a_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83a_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83a_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83ga_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83gra_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83graa_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83grada_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83gradea_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24{,}83gradena_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox2483gradena_1=\sin^{-1}(0{,}42)\thickapprox24,83gradena_1=\sin^{-1}(042)\thickapprox24,83gradena_1=\sin^{-1}(0,42)\thickapprox24,83gradena_1=(0,42)\thickapprox24,83gradena_1=a(0,42)\thickapprox24,83gradena_1=ar(0,42)\thickapprox24,83gradena_1=arc(0,42)\thickapprox24,83gradena_1=arcs(0,42)\thickapprox24,83gradena_1=arcsi(0,42)\thickapprox24,83gradena_1=arcsin(0,42)\thickapprox24,83gradena\alpha_1=arcsin(0,42)\thickapprox24,83graden\alpha_1=arcsin(0,42)\thickapprox24,83graden\alpha=arcsin(0,42)\thickapprox24,83graden\alpha\_=arcsin(0,42)\thickapprox24,83graden

Controleer met het plaatje:

•De rekenmachine geeft 24,83 graden. Dit is een hoek in het eerste kwadrant (laatdat punt zijn).

•Volgens de opdracht bevindtzich in het tweede kwadrant, dus de hoek moet groter zijn dan 90 graden.

Bereken de correcte draaiingshoek:

•Omdat de eenheidscirkel symmetrisch is, is er nog een hoek met dezelfde y-coördinaat. Deze vind je in het tweede kwadrant door 180 graden min de gevonden hoek te doen.

•\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)=155{,}17\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree=155{,}17\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree155{,}17\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox155{,}17\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox55{,}17\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox155{,}17\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox155{,}1\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox155{,}17\ldots\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox155{,}17..\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox155{,}17.\degree\alpha=180\degree-\sin^{-1}(0{,}42)\degree\thickapprox155{,}17\degree\alpha=180\degree-\degree\thickapprox155{,}17\degree\alpha=180\degree-2\degree\thickapprox155{,}17\degree\alpha=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17\degree=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17\degreea=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17\degreea=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17a=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17ga=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17gra=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17graa=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17grada=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17gradea=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155{,}17gradena=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox15517gradena=180\degree-24{,}83\degree\thickapprox155,17gradena=180\degree-2483\degree\thickapprox155,17gradena=180\degree-24,83\degree\thickapprox155,17graden=180\degree-24,83\degree\thickapprox155,17graden

•Afgerond op één decimaal: 155,2 graden. Dit komt overeen met de positie vanin het tweede kwadrant.

Rekenvoorbeeld: x-coördinaat vanPP=P=-0{,}36P=P=-P=-0{,}36P=-036is-0{,}36

Gegeven is dat de x-coördinaat vangelijk is aan-0{,}36-036. De plaats vanis in het derde kwadrant. We willen de draaiingshoek\alphaberekenen.

Gebruik de inverse cosinus:

•\cos(\alpha)=-0{,}36\cos()=-0{,}36\cos(a)=-0{,}36\cos(a)=-036\cos(a)=-0,36co(a)=-0,36c(a)=-0,36(a)=-0,36c(a)=-0,36co(a)=-0,36cos(a)=-0,36cos()=-0,36

•\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)=111{,}10\ldots\degree\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)=111{,}10..\degree\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)=111{,}10.\degree\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)=111{,}10\degree\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)111{,}10\degree\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)\approx111{,}10\degree\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)111{,}10\degree\alpha_1=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha a_1=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degreea_1=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degreea=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{}=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=\cos^{-1}(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=a(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=ar(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=arc(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=arcc(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=arcco(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=arccos(-0{,}36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=arccos(-036)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111{,}10\degree\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox11110\degree\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10\degree\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10g\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10gr\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10gra\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10grad\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10gradeα₁ = arccos(-0,36) ≈ 111,10 graden\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,1den\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10den\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10gden\alpha\_{1}=arccos(-0,36)\thickapprox111,10grden

Controleer met het plaatje:

•De rekenmachine geeft 111,10 graden. Dit is een hoek in het tweede kwadrant (laatdat punt zijn).

•Volgens de opdracht bevindtzich in het derde kwadrant, dus de hoek moet groter zijn dan 180 graden.

Bereken de correcte draaiingshoek:

•De hoek van 111,10 graden is de hoek naar het puntin het tweede kwadrant. De rekenmachine geeft de hoek voor een punt in het tweede kwadrant. Vanwege de symmetrie ten opzichte van de x-as is de hoek naar het punt in het derde kwadrant te berekenen metmin de gevonden hoek.

•\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)=248{,}90\ldots\degree\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)=248{,}90..\degree\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)=248{,}90.\degree\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)=248{,}90\degree\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)=248{,}9.0\degree\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)=248{,}90\degree\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)248{,}90\degree\alpha=360\degree-\cos^{-1}(-0{,}36)\approx248{,}90\degree\alpha=360\degree-111{,}10\degree\approx248{,}90\degree\alpha=360\degree-111{,}10\degree248{,}90\degree\alpha=360\degree-111{,}10\degree\thickapprox248{,}90\degree=360\degree-111{,}10\degree\thickapprox248{,}90\degreea=360\degree-111{,}10\degree\thickapprox248{,}90\degreea=360\degree-111{,}10\degree\thickapprox248{,}90\degree ga\alpha=360\degree-111{,}10\degree\thickapprox248{,}90\degree g\alpha=360\degree-111{,}10\degree\thickapprox248{,}90\degree g\alpha=360\degree-11110\degree\thickapprox248{,}90\degree g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248{,}90\degree g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox24890\degree g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90\degree g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90deeenheidscirkelmettweepuntenP^{\prime}(inQ2)enP(inQ3)diebeidex=-0,36hebben.\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90g\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90gr\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90gra\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90gran\alpha=360\degree-111,10\degree\thickapprox248,90gradn

•Afgerond op één decimaal: 248,9 graden. Dit komt overeen met de positie vanin het derde kwadrant.