Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt

Leerdoelen

•Je kunt algebraïsch de coördinaten van raakpunten berekenen als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in deze punten gegeven is.

Wat zijn een raaklijn en richtingscoëfficiënt?

Een raaklijn is een rechte lijn die een grafiek in precies één punt raakt. De richtingscoëfficiënt (rc) is de maat voor de steilheid van deze lijn. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan een functie op een bepaald punt wordt gegeven door de waarde van de afgeleide functie op dat punt. De afgeleide functie (aangeduid als voor een functie ) geeft de helling van de raaklijn voor elke x-waarde. De raakpunten zijn de punten op de grafiek waar de raaklijn de grafiek raakt. Deze punten hebben coördinaten (x, y), die de positie in een assenstelsel aangeven.

Hoe bereken je de coördinaten van raakpunten met een gegeven richtingscoëfficiënt?

Om de coördinaten van raakpunten algebraïsch te berekenen (dat wil zeggen, met behulp van wiskundige vergelijkingen zonder grafieken), volg je een aantal stappen. Je start met een gegeven functie en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.

Stappenplan voor het berekenen van raakpunten

1.Bepaal de afgeleide functie (): Bereken de afgeleide van de oorspronkelijke functie . De afgeleide functie geeft de richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor elke x-waarde.

2.Stel de afgeleide functie gelijk aan de gegeven richtingscoëfficiënt: Je weet de waarde van de richtingscoëfficiënt (rc) van de raaklijn. Stel gelijk aan deze waarde.

3.Los de vergelijking op voor x: Dit levert de x-coördinaten van de raakpunten op. Vaak is dit een kwadratische vergelijking die kan worden opgelost met methoden zoals de som-product-methode of de abc-formule. De som-product-methode zoekt twee getallen waarvan de som gelijk is aan de coëfficiënt van x en het product gelijk is aan de constante term in een kwadratische vergelijking van de vorm x^2{}+bx+c=0x{}+bx+c=0x^{}+bx+c=0.

4.Bereken de y-coördinaten: Vul de gevonden x-waarden in de oorspronkelijke functie in om de bijbehorende y-coördinaten te vinden.

5.Formuleer de coördinaten van de raakpunten: Combineer de x- en y-waarden tot de coördinaten (x, y) van de raakpunten.

Voorbeeldberekening

Gegeven is de functie F(x)=(\frac13)x^3{}+x^2-11x+9F(x)=(\frac{1}{\placeholder{}})x^3{}+x^2-11x+9F(x)=(1)x^3{}+x^2-11x+9F(x)=(1/)x^3{}+x^2-11x+9F(x)=(1/3)x^3{}+x^2-11x+9F(x)=(1/3)x^3{}+x-11x+9F(x)=(1/3)x^3{}+x\%-11x+9F(x)=(1/3)x^3{}+x-11x+9F(x)=(1/3)x^3{}+x^-11x+9F(x)=(1/3)x^3{}+x^{2}-11x+9F(x)=(1/3)x{}+x^{2}-11x+9F(x)=(1/3)x^{}+x^{2}-11x+9. In de punten A en B van de grafiek van F is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan vier. Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B.

Stap 1: Bepaal de afgeleide functie F'(x) F^{\prime}(x)=x^2{}+2x-11F^{\prime}(x)=x{}+2x-11F^{\prime}(x)=x^{}+2x-11F^{\prime}(x)=x^{2}+2x-11F^{\prime}(x)=x^{2=}+2x-11

Stap 2: Stel de afgeleide functie gelijk aan de gegeven richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt is 4, dus: x^2{}+2x-11=4x{}+2x-11=4x^{}+2x-11=4

Stap 3: Los de vergelijking op voor x Stel de vergelijking gelijk aan nul: x^2{}+2x-11-4=0x{}+2x-11-4=0x^{}+2x-11-4=0 x^2{}+2x-15=0x{}+2x-15=0x^{}+2x-15=0

Gebruik de som-product-methode:

•Zoek twee getallen waarvan de som 2 is en het product -15.

•De getallen zijn 5 en -3 (want en 5\cdot(-3)=-155(-3)=-15).

•Dit leidt tot:

•De oplossingen zijn: of

Stap 4: Bereken de y-coördinaten Vul de gevonden x-waarden in de oorspronkelijke functie in.

•Voor : F(-5)=(\frac13)(-5)^3+(-5)^2-11(-5)+9F(-5)=(\frac13)(-5)^3+(-5)-11(-5)+9F(-5)=(\frac13)(-5)^3+(-5)^-11(-5)+9F(-5)=(\frac13)(-5)^3+(-5)^{2}-11(-5)+9F(-5)=(\frac13)(-5)+(-5)^{2}-11(-5)+9F(-5)=(\frac13)(-5){3}+(-5)^{2}-11(-5)+9F(-5)=(\frac13)(-5)^{3}+(-5)^{2}-11(-5)+9F(-5)=(\frac{1}{\placeholder{}})(-5)^{3}+(-5)^{2}-11(-5)+9F(-5)=(1)(-5)^{3}+(-5)^{2}-11(-5)+9F(-5)=(1/)(-5)^{3}+(-5)^{2}-11(-5)+9 F(-5)=(\frac13)(-125)+25+55+9F(-5)=(\frac{1}{\placeholder{}})(-125)+25+55+9F(-5)=(1)(-125)+25+55+9F(-5)=(1/)(-125)+25+55+9 F(-5)=-41\frac23+89F(-5)=-41-\frac23+89F(-5)=-41-\frac{2}{\placeholder{}}+89F(-5)=-41-2+89F(-5)=-41-+89F(-5)=-41+89F(-5)=-412+89F(-5)=-\frac{412}{}+89F(-5)=-\frac{412}{3}+89F(-5)=-\frac{412}{\placeholder{}}+89F(-5)=-412+89F(-5)=-412/+89 F(-5)=47\frac13F(-5)=4\frac13F(-5)=\frac13F(-5)=\frac{1}{\placeholder{}}F(-5)=1F(-5)=1/F(-5)=1/3F(-5)=41/3

•Voor x = 3: F(3)=(\frac13)(3)^3+(3){}^2-11(3)+9F(3)=(\frac13)(3)^3+(3){}-11(3)+9F(3)=(\frac13)(3)^3+(3)^{}-11(3)+9F(3)=(\frac13)(3)^3+(3)^{2}-11(3)+9F(3)=(\frac13)(3)+(3)^{2}-11(3)+9F(3)=(\frac13)(3)^+(3)^{2}-11(3)+9F(3)=(\frac13)(3)^{3}+(3)^{2}-11(3)+9F(3)=(\frac{1}{\placeholder{}})(3)^{3}+(3)^{2}-11(3)+9F(3)=(1)(3)^{3}+(3)^{2}-11(3)+9F(3)=(1/)(3)^{3}+(3)^{2}-11(3)+9 F(3)=(\frac13)(27)+9-33+9F(3)=(\frac{1}{\placeholder{}})(27)+9-33+9F(3)=(1)(27)+9-33+9F(3)=(1/)(27)+9-33+9

Stap 5: Formuleer de coördinaten van de raakpunten De coördinaten van punt A zijn (-5, 47 \frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/). De coördinaten van punt B zijn (3, -6).