Leerdoelen
•Je kunt algebraïsch de coördinaten van raakpunten berekenen als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in deze punten gegeven is.
Wat zijn een raaklijn en richtingscoëfficiënt?
Een raaklijn is een rechte lijn die een grafiek in precies één punt raakt. De richtingscoëfficiënt\left(rc\right)is de maat voor de steilheid van deze lijn. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan een functie op een bepaald punt wordt gegeven door de waarde van de afgeleide functie op dat punt. De afgeleide functie (aangeduid alsf^{\prime}(x)voor een functief\left(x)\right)geeft de helling van de raaklijn voor elkex\text{-waarde}.De raakpunten zijn de punten op de grafiek waar de raaklijn de grafiek raakt. Deze punten hebben coördinaten(x, y),die de positie in een assenstelsel aangeven.
Hoe bereken je de coördinaten van raakpunten met een gegeven richtingscoëfficiënt?
Om de coördinaten van raakpunten algebraïsch te berekenen (dat wil zeggen, met behulp van wiskundige vergelijkingen zonder grafieken), volg je een aantal stappen. Je start met een gegeven functie en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
Stappenplan voor het berekenen van raakpunten
1.Bepaal de afgeleide functie\left(f^{\prime}\left(x)\right):\right.Bereken de afgeleide van de oorspronkelijke functie f(x).De afgeleide functie geeft de richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor elkex\text{-waarde.}
2.Stel de afgeleide functie gelijk aan de gegeven richtingscoëfficiënt: Je weet de waarde van de richtingscoëfficiënt\left(rc\right)van de raaklijn. Stelf^{\prime}(x)gelijk aan deze waarde.
3.Los de vergelijking op voorx:Dit levert dex\text{-coördinaten}van de raakpunten op. Vaak is dit een kwadratische vergelijking die kan worden opgelost met methoden zoals de som-product-methode of de abc-formule. De som-product-methode zoekt twee getallen waarvan de som gelijk is aan de coëfficiënt vanxen het product gelijk is aan de constante term in een kwadratische vergelijking van de vorm x^2{}+bx+c=0\text{.}
4.Bereken de y-coördinaten: Vul de gevondenx\text{-waarde}in de oorspronkelijke functief(x)in om de bijbehorendey\text{-coördinaten}te vinden.
5.Formuleer de coördinaten van de raakpunten: Combineer dex\text{- en }y\text{-waarden}tot de coördinaten\left(x,y\right)van de raakpunten.
Voorbeeldberekening
Gegeven is de functief(x)=(\frac13)x^3{}+x^2-11x+9.
In de puntenAenBvan de grafiek vanfis de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan vier.
Bereken algebraïsch de coördinaten vanAenB.
Stap 1: Bepaal de afgeleide functief^{\prime}\left(x\right)
f(x)=(\frac13)x^3{}+x^2-11x+9
f^{\prime}(x)=x^2{}+2x-11
Stap 2: Stel de afgeleide functie gelijk aan de gegeven richtingscoëfficiënt
De richtingscoëfficiënt is4,dus:
x^2{}+2x-11=4
Stap 3: Los de vergelijking op voorx
Stel de vergelijking gelijk aan nul:
x^2{}+2x-11-4=0
x^2{}+2x-15=0
Gebruik de som-product-methode:
•Zoek twee getallen waarvan de som2is en het product-15.
•De getallen zijn5en-3(want5 + (-3) = 2en5\cdot(-3)=-15).
•Dit leidt tot:(x + 5)(x - 3) = 0
•De oplossingen zijn:x = -5ofx = 3
Stap 4: Bereken de y-coördinaten
Vul de gevondenx\text{-waarden}in de oorspronkelijke functief(x)in.
•Voor x=-5:
f(-5)=(\frac13)(-5)^3+(-5)^2-11(-5)+9
f\left(-5\right)=(\frac13)(-125)+25+55+9
f(-5)=-41\frac23+89
f(-5)=47\frac13
•Voorx = 3:
f(3)=(\frac13)(3)^3+(3){}^2-11(3)+9
f(3)=(\frac13)(27)+9-33+9
f(3)=9+9-33+9
f(3)=-6
Stap 5: Formuleer de coördinaten van de raakpunten
De coördinaten van puntAzijn\left(-5{,}\ 47\frac13\right).
De coördinaten van puntBzijn(3, -6).
