Leerdoelen
•Je kunt de algemene formule van een cirkel afleiden met behulp van de afstandsformule.
•Je kunt in verschillende situaties de vergelijking van een cirkel opstellen.
De cirkelvergelijking uitgelegd
Een cirkel is een verzameling van alle punten die op een vaste afstand liggen van een bepaald middelpunt. Deze vaste afstand noemen we de straal (aangegeven met). Het middelpunt van de cirkel noteren we vaak alsmet coördinaten. Elk puntop de cirkel heeft dan coördinaten.
De afstand tussen twee punten en Pythagoras
Stel, je hebt twee punten,en. De afstand tussen deze twee punten kun je berekenen met een formule die is afgeleid van de stelling van Pythagoras. Denk aan een rechthoekige driehoek waarbij het verschil in de x-coördinaten en het verschil in de y-coördinaten de rechthoekszijden zijn, en de afstandde schuine zijde.
De afstandwordt dan berekend met:
Afleiden van de algemene cirkelvergelijking
Stel, we hebben een middelpunten een punt. De afstand tussenenis. Als we deze punten in een assenstelsel zouden tekenen, iseen vast punt.kan overal liggen, zolang de afstand totmaaris. Als je alle mogelijke puntentekent die aan deze voorwaarde voldoen, ontstaat er een cirkel.
We kunnen de afstanduitdrukken inenen deze gelijkstellen aan de straal. In dit voorbeeld is.
Aangezien de afstandgelijk is aan, krijgen we:
Om de wortel weg te werken, kwadrateren we beide zijden van de vergelijking:
Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpunten straal.
In het algemeen geldt voor een cirkel met middelpunten straalde volgende algemene formule:
Cirkelvergelijkingen opstellen in verschillende situaties
Situatie 1: Middelpunt en straal bekend
Opgave 1: Stel een vergelijking op van cirkelc_1cC_1met middelpunten straal.
Uitwerking:
We gebruiken de algemene formule:.
Gegeven zijn:en.
We vullen deze waarden in de formule in:
Dit is de vergelijking van cirkelc_1cC_1.
Situatie 2: Middelpunt en een punt op de cirkel (de oorsprong) bekend
Opgave 2: Stel een vergelijking op van cirkelmet middelpuntdie door de oorsprong gaat.
Uitwerking:
We weten het middelpunten een punt op de cirkel, de oorsprong. De straalis de afstand tussen het middelpunt en een punt op de cirkel. In dit geval isde afstand tussenen. We berekenenmet de afstandsformule:
Voor de cirkelvergelijking hebben wenodig. In dit geval is. Nu vullen weenin de algemene formule in:
Dit is de vergelijking van cirkel.
Tip: Je kunt ook directberekenen door de wortel aan het einde van de afstandsformule weg te laten.
Situatie 3: Middelpunt en een willekeurig punt op de cirkel bekend
Opgave 3: Stel een vergelijking op van cirkelmet middelpuntdie door het puntgaat.
Uitwerking:
Net als in situatie 2 berekenen we de straal door de afstand tussenente bepalen. Dit keer berekenen we direct.
Nu vullen we,enin de algemene formule in:
Dit is de vergelijking van cirkel.
Situatie 4: Middelpunt en raaklijn aan de x-as bekend
Opgave 4: Stel een vergelijking op van cirkelmet middelpuntdie de x-as raakt.
Uitwerking:
We weten het middelpunt. De cirkel raakt de x-as. Dit betekent dat de afstand van het middelpunt tot de x-as gelijk is aan de straal. De afstand van een punttot de x-as is de absolute waarde van de y-coördinaat, dus. In dit geval is, dus. Daarmee is.
Nu vullen we,enin de algemene formule in:
Dit is de vergelijking van cirkel.
Situatie 5: Middelpunt op een lijn, straal en raaklijn aan de x-as bekend
Opgave 5: Gegeven is de lijn. Er zijn twee cirkelsenwaarvan het middelpunt op lijnligt, die een straal vanhebben en de x-as raken. Stel van zowelalseen vergelijking op.
Uitwerking:
We weten dat de straal. Omdat de cirkels de x-as raken, is de afstand van het middelpunttot de x-as gelijk aan. Dit betekent dat de y-coördinaat van het middelpunt,, gelijk moet zijn aanof. Dusof.
Nu moeten we de x-coördinaten van de middelpunten bepalen. Aangezien de middelpunten op lijnliggen, kunnen we de gevondeninvullen in de vergelijking van lijn.
Geval 1:
Vulin de vergelijking van lijn:
Het middelpunt van cirkelis. De straal is, dus. De vergelijking vanis:
Geval 2:
Vulin de vergelijking van lijn:
Het middelpunt van cirkelis. De straal is, dus. De vergelijking vanis:
Dit zijn de vergelijkingen van de twee cirkels.
