Leerdoelen
•Je kunt algebraïsch de formule van een raaklijn opstellen m.b.v. de afgeleide.
De formule van een raaklijn
In deze les leer je hoe je de formule van een raaklijn kunt opstellen met behulp van de afgeleide van een functie. We gebruiken als voorbeeld de functie: f(x)=\frac13x^{}{^3}+4x^2-5x+1f(x)=\frac{1}{\placeholder{}}x^{}{^3}+4x^2-5x+1f(x)=1x^{}{^3}+4x^2-5x+1f(x)=x^{}{^3}+4x^2-5x+1f(x)=⅓x^{}{^3}+4x^2-5x+1f(x)=⅓x^{}{^3}+4x-5x+1f(x)=⅓x^{}{^3}+4x^-5x+1f(x)=⅓x^{}{^3}+4x^{2}-5x+1f(x)=⅓x^{}{}+4x^{2}-5x+1f(x)=⅓x{3}+4x^{2}-5x+1
Het punt A en de afgeleide
Op de grafiek van f ligt het punt A, waarbij de x-coördinaat van A gegeven is als . Om de formule van de raaklijn k in A op te stellen, hebben we de afgeleide van de functie nodig. De afgeleide f'(x) wordt als volgt berekend:
Afgeleide berekenen:
•De afgeleide van\frac13x^3\frac{1}{\placeholder{}}x^3x^3⅓x^3⅓x⅓x{3}is x^2xx^.
•De afgeleide van 4x^24x4x^ is 8x8.
•De afgeleide van-5x-5- is-55.
•De afgeleide van de constante is.
Dus de afgeleide functie is:
f^{\prime}(x)=x^2+8x-5f^{\prime}(x)=x+8x-5f^{\prime}(x)=x^+8x-5
De richtingscoëfficiënt en de raaklijn
De formule van de raaklijn k is van de vorm:
waarbij a de richtingscoëfficiënt is. Deze coëffici ënt is de helling van de raaklijn en wordt berekend door de x-coördinaat van punt A in de afgeleide functie in te vullen:
Vul in:
Dus, de richtingscoëfficiënt a is -17. Tot nu toe hebben we:
Berekening van b
Om b te berekenen, hebben we de coördinaten van punt A nodig. We weten al dat , maar we moeten ook de y-coördinaat berekenen doorin de oorspronkelijke functiein te vullen:
Bereken: f(-6)=\frac13x(-6)^{3}+4x(-6)^{2}-5x(-6)+1=-72+144+30+1=103f(-6)=\frac{1}{\placeholder{}}x(-6)^{3}+4x(-6)^{2}-5x(-6)+1=-72+144+30+1=103f(-6)=1x(-6)^{3}+4x(-6)^{2}-5x(-6)+1=-72+144+30+1=103f(-6)=x(-6)^{3}+4x(-6)^{2}-5x(-6)+1=-72+144+30+1=103f(-6)x(-6)^{3}+4x(-6)^{2}-5x(-6)+1=-72+144+30+1=103f(-6)=x(-6)^{3}+4x(-6)^{2}-5x(-6)+1=-72+144+30+1=103
Nu hebben we de coördinaten van A: (-6, 103) . Vul deze in de vergelijking van de raaklijn in om b te vinden:
Los op voor b:
De formule van de raaklijn is dus:
