Gegeven is de functie f\left(x\right)=-\frac13x^3+5x^2-9x+1f\left(x\right)=-\frac13x^3+5x^2-9x+f\left(x\right)=-\frac13x^3+5x^2-9xf\left(x\right)=-\frac13x^3+5x^2-9f\left(x\right)=-\frac13x^3+5x^2-f\left(x\right)=-\frac13x^3+5x^2f\left(x\right)=-\frac13x^3+5xf\left(x\right)=-\frac13x^3+5x6f\left(x\right)=-\frac13x^3+5xf\left(x\right)=-\frac13x^3+5f\left(x\right)=-\frac13x^3+f\left(x\right)=-\frac13x^3+4f\left(x\right)=-\frac13x^3+f\left(x\right)=-\frac13x^3f\left(x\right)=-\frac13x^3=f\left(x\right)=-\frac13x^3f\left(x\right)=-\frac13xf\left(x\right)=-\frac13f\left(x\right)=-\frac{1}{}f\left(x\right)=-\frac11f\left(x\right)=-\frac{1}{\placeholder{}}f\left(x\right)=-1f\left(x\right)=-f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)f. Bereken exact de extreme waarden.
Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide
In deze les leer je hoe je algebraïsch de extreme waarden van een functie kunt berekenen, met de focus op de afgeleide van de functie.
Afgeleide van de functie
We bekijken de functie:
f(x)=\frac{1}{5}x^3-\frac{3}{2}x^2-3\frac{3}{5}x-12
Berekenen van de afgeleide
Om de afgeleide te berekenen, pas je de volgende regels toe:
Vermenigvuldig de exponent met de constante.
Verminder de exponent met .
•De afgeleide van wordt: \frac{1}{5}\cdot3x^{3-1}=\frac{3}{5}x^2\frac{1}{5}3x^{3-1}=\frac{3}{5}x^2
•De afgeleide van wordt: -\frac{3}{2}\cdot2x^{2-1}=-3x-\frac{3}{2}2x^{2-1}=-3x
•De afgeleide van -3\frac{3}{5}xwordt: -3\frac{3}{5}
•De afgeleide van de constante is
De afgeleide is dan:
f^{\prime}(x)=\frac{3}{5}x^2-3x-3\frac35f^{\prime}(x)=\frac{3}{5}x^2-3x-\frac35f^{\prime}(x)=\frac{3}{5}x^2-3x-\frac{33}{5}
Bepalen van de extreme waarden
Instellen van de afgeleide gelijk aan
Nu willen we de punten vinden waar de extreme waarden zich bevinden. Dit doen we door de afgeleide gelijk te stellen aan .
Hieruit kunnen we de waarde van bij de extremen vinden. Op de top of dal van een grafiek is de richtingscoëfficiënt immers gelijk aan 0o.
f^{\prime}\left(x\right)=0f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f geeft \frac35x^2+3x-3\frac35=0\frac35x^2+3x-3\frac35=\frac35x^2+3x-3\frac35\frac35x^2+3x-\frac35\frac35x^2+3x-\frac{3}{\placeholder{}}\frac35x^2+3x-3\frac35x^2+3x-\frac35x^2+3x\frac35x^2+3\frac35x^2+\frac35x^2\frac35x\frac35\frac{3}{\placeholder{}}3
3x^2+15x-183x+15x-183x2+15x-183x2+15x-183x2+15x-13x2+15x-3x2+15x3x2+153x2+13x2+3x23x3=0
x^2+5x-6=0x^2+5x-6=0x^2+5x-6=x^2+5x-6x^2+5x-x^2+5xx^2+5x^2+x^2x
\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0\left(x+6\right)\left(x-1\right)=\left(x+6\right)\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x-\right)\left(x+6\right)\left(x\right)\left(x+6\right)\left(\right)\left(x+6\right)\left(\right)x+6\left(\right)x+\left(\right)x\left(\right?
x=-6x=-x=x V x=1x=x
f\left(-6\right)=20\frac12f\left(-6\right)=20-\frac12f\left(-6\right)=20-\frac{1}{\placeholder{}}f\left(-6\right)=20-1f\left(-6\right)=20-f\left(-6\right)=20f\left(-6\right)=2f\left(-6\right)=f\left(-6\right)f\left(-\right)f\left(\right)f en f\left(1\right)=-13\frac{9}{10}f\left(1\right)=-13-\frac{9}{10}f\left(1\right)=-13-\frac91f\left(1\right)=-13-\frac{9}{\placeholder{}}f\left(1\right)=-13-9f\left(1\right)=-13-f\left(1\right)=-13f\left(1\right)=-1f\left(1\right)=-f\left(1\right)=f\left(1\right)f\left(\right)f
Het maximum is dus \left(-6{,}20\frac25\right)f\left(-6{,}20\frac25\right)f=\left(-6{,}20\frac25\right)f=\left(-6{,}20-\frac25\right)f=\left(-6{,}20-\frac{2}{\placeholder{}}\right)f=\left(-6{,}20-2\right)f=\left(-6{,}20-\right)f=\left(-6{,}20\right)f=\left(-6{,}2\right)f=\left(-6{,}\right)f=\left(-6{,}2\right)f=\left(-\frac{6{,}2}{}\right)f=\left(-\frac{6{,}2}{5}\right)f=\left(-\frac{6{,}2}{\placeholder{}}\right)f=\left(-6{,}2\right)f=\left(-6{,}\right)f=\left(-6\right)f=\left(-\right)f=\left(\right)f=f en het minimum\left(1{,}-13\frac{9}{10}\right)\left(1{,}-1\frac{9}{10}\right)\left(1{,}-\frac{9}{10}\right)\left(1{,}-\frac91\right)\left(1{,}-\frac{9}{\placeholder{}}\right)\left(1{,}-9\right)\left(1{,}-\right)\left(1{,}-2\right)\left(1{,}-\frac{2}{}\right)\left(1{,}-\frac25\right)\left(1{,}-\frac{2}{\placeholder{}}\right)\left(1{,}-2\right)\left(1{,}-\right)\left(1{,}\right)\left(1\right)\left(\right?ff=f.
Gebruik maken van de grafische rekenmachine
Om de maximum en minimum waarden van de functie visueel te zien, kun je je grafische rekenmachine gebruiken:
Vul de functie in.
Bepaal het venster (window) voor de grafiek, zodat je de extreme waarden goed kunt zien.
Gebruik de (trace) functie om de exacte waarden bij de gevonden -waarden te bepalen.
