De hoek tussen 2 lijnen

Leerdoelen

•Je kunt de richtingshoek van een lijn definiëren.

•Je kunt de hoek tussen twee lijnen berekenen.

Wat is de richtingshoek van een lijn?

De richtingshoek van een lijn is de hoek waarover de x-as gedraaid moet worden om samen te vallen met de lijn. Deze hoek wordt aangeduid met de Griekse letter alfa (α). De tangens van de richtingshoek is gelijk aan de richtingscoëfficiënt (rc) van de lijn. De richtingscoëfficiënt wordt berekend door de verandering in Y-coördinaat (\Delta Y\Delta\Delta y\Delta\Delta YYdYdeYdelYdeltY, ) te delen door de verandering in X-coördinaat (\Delta X,\Delta x\Delta,\Delta x).

Om de richtingshoek te berekenen, gebruik je de inverse tangens (tan⁻¹). Dit is de functie die de hoek geeft wanneer de tangens van die hoek bekend is.

Voorbeeld 1: Richtingshoek van lijn K (stijgend) Gegeven lijn K met de vergelijking y=(\frac13)x-1y=(\frac{1}{\placeholder{}})x-1y=(1)x-1y=(1/)x-1.

•De richtingscoëfficiënt (rc) is \frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/.

•De tangens van de richtingshoek α is dus \frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/.

•α = tan⁻¹(\frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/) ≈ 18,4 graden.

De richtingshoek van lijn K is 18,4 graden.

Hoe bereken je de hoek tussen twee lijnen?

Om de hoek tussen twee lijnen te berekenen, bepaal je eerst de richtingshoeken van beide lijnen. Daarna bereken je het verschil tussen deze richtingshoeken. De algemene regel is dat je altijd de scherpe hoek tussen de lijnen neemt.

Hoek tussen twee stijgende lijnen

Stel, we hebben lijn K (richtingshoek α = 18,4 graden) en lijn L met vergelijking .

•De richtingscoëfficiënt van lijn L is 1.

•De tangens van de richtingshoek β van lijn L is 1. tan⁻¹(1)

•\beta=\tan^{-1}{}(1)=45\beta={}(1)=45 graden.

De hoek tussen lijn K en lijn L is het verschil tussen de richtingshoeken: Hoek = β - α = 45 graden - 18,4 graden = 26,6 graden.

Hoek tussen een stijgende en een dalende lijn

Stel, we hebben lijn K (richtingshoek α = 18,4 graden) en lijn M, een dalende lijn.

•De richtingscoëfficiënt van lijn M is -\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}-1-1/ (\Delta y=-1\Delta=-1, \Delta x=2\Delta=2).

•De tangens van de richtingshoek γ van lijn M is -\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}-1-1/.

•\gamma=\tan^{-1}{}(-\frac12)\thickapprox-26,6\gamma=\tan^{-1}{}(-\frac{1}{\placeholder{}})\thickapprox-26,6\gamma=\tan^{-1}{}(-1)\thickapprox-26,6\gamma=\tan^{-1}{}(-1/)\thickapprox-26,6\gamma=\tan^{-1}{}(-1/2)\thickapprox-26,6\gamma={}(-1/2)\thickapprox-26,6\gamma=t{}(-1/2)\thickapprox-26,6\gamma=ta{}(-1/2)\thickapprox-26,6\gamma=ta^{}(-1/2)\thickapprox-26,6\gamma=tan^{}(-1/2)\thickapprox-26,6\gamma=tan^{-}{}(-1/2)\thickapprox-26,6\gamma=tan^{-}^{}(-1/2)\thickapprox-26,6 graden.

Een negatieve richtingshoek betekent dat de lijn daalt.

De hoek tussen lijn K en lijn M is het verschil tussen de richtingshoeken: Hoek = graden.

Stappenplan voor het berekenen van de hoek tussen twee lijnen

Volg dit stappenplan om de hoek tussen twee lijnen te berekenen, zonder gebruik te maken van een tekening:

1.Zet de vergelijking van elke lijn om naar de vorm . Hierdoor vind je direct de richtingscoëfficiënt (a).

2.Bereken de richtingshoek (α of β) van elke lijn met behulp van de inverse tangens (\tan^{-1}(a)(a)t(a)ta(a)tan(a)tan^(a)tan^{-}(a)tan^{-}^(a)). Bewaar de volledige waarde op de rekenmachine en rond nog niet af.

3.Bereken het verschil tussen de twee richtingshoeken: hoek = |α - β|. Neem de absolute waarde om altijd een positieve hoek te krijgen.

4.Controleer of de berekende hoek een scherpe hoek is (tussen 0 en 90 graden). Als de hoek groter is dan 90 graden (een stompe hoek), trek de hoek dan af van 180 graden om de scherpe hoek te vinden.

5.Rond de uiteindelijke hoek af zoals gevraagd in de opdracht, bijvoorbeeld op hele graden.

Voorbeeld 2: Bereken de hoek tussen de lijnen K en L

Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen lijn K: en lijn L: .

Stap 1: Maak vrij in de vergelijkingen om de richtingscoëfficiënt te vinden.

•Lijn K:

•

•

•

•De richtingscoëfficiënt van K is = 3.

•Lijn L:

•

•

•y=-\frac35x+2y=-\frac{3}{\placeholder{}}x+2y=-3x+2y=-3/x+2

•De richtingscoëfficiënt van L is rc_{L}=-\frac35rc_{L}=-\frac{3}{\placeholder{}}rc_{L}=-3rc_{L}=-35.

Stap 2: Bereken de richtingshoeken.

•Voor lijn K:

•tan(α) = 3

•α = tan⁻¹(3) ≈ 71,565 graden (volledige waarde op rekenmachine bewaren).

•Voor lijn L:

•tan(\beta)=-\frac35tan(\beta)=-\frac{3}{\placeholder{}}tan(\beta)=-3tan(\beta)=-3/

•\beta=\tan^{-1}{}(-\frac35)\thickapprox-30,963\beta=\tan^{-1}{}(-\frac{3}{\placeholder{}})\thickapprox-30,963\beta=\tan^{-1}{}(-3)\thickapprox-30,963\beta=\tan^{-1}{}(-3/)\thickapprox-30,963\beta=\tan^{-1}{}(-3/5)\thickapprox-30,963 graden (volledige waarde op rekenmachine bewaren).

Stap 3: Bereken het verschil tussen de richtingshoeken.

•Hoek =

•Hoek = graden.

Stap 4: Controleer of de hoek scherp is en pas indien nodig aan.

•De berekende hoek is 102,528 graden, wat een stompe hoek is (groter dan 90 graden).

•De regel is om de scherpe hoek te nemen.

•Scherpe hoek = 180 graden - 102,528... graden ≈ 77,472 graden.

Stap 5: Rond de uiteindelijke hoek af.

•Afgerond op gehelen (graden nauwkeurig), is de hoek tussen de lijnen K en L 77 graden.