Oefen examens van de afgelopen 5 jaar met extra uitleg door docenten bij examenvragen
Extra uitleg en oefenen voor elk onderwerp uit je examen
Stel vragen en krijg direct antwoord
De rand van een letter op een computerbeeldscherm is een aaneenschakeling van meerdere krommen. Zo is de rand van de (uitvergrote) letter 'a' in figuur 1 gemaakt met behulp van zestien krommen, die je in figuur 2 ziet.
figuur 1figuur 2figuur 3figuur 4
Elk van de zestien krommen kan met een formule worden beschreven. Computers hebben die formules nodig om de letters op het scherm te kunnen tekenen. Als voorbeeld bekijken we de kromme$Ktussen$Aen$B, die in figuur 2 dikker is getekend.
We gaan ervan uit dat er vier gegevens bekend zijn:
•de coördinaten van$A;
•de coördinaten van$B;
•de richting van de raaklijn in$Aaan de kromme;
•de richting van de raaklijn in$Baan de kromme.
Zie figuur 3. De vraag is nu hoe je uit deze vier gegevens een formule voor de kromme$Kmaakt.
In figuur 4 zie je de punten$Aen$Ben de twee raaklijnen, geplaatst in een assenstelsel. Gegeven is dat$Ade coördinaten\left(\frac{1}{15},\frac{4}{3}\right)\frac{1}{15},\frac{4}{3})$(\frac{1}{15}, \frac{4}{3})heeft,$Bde coördinaten\left(1,\frac{19}{10}\right)1,\frac{19}{10})$(1, \frac{19}{10}), dat de raaklijn in$Bhorizontaal is en dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in$Agelijk is aan. Het punt$Cis het snijpunt van de twee raaklijnen en speelt een belangrijke rol bij de constructie van de kromme$K.
3 punten
Open vraag
Om de kromme$Kte kunnen construeren, worden er, behalve de drie vaste punten$A, Ben$C, drie bewegende punten$P, Qen$Rgebruikt. Deze bewegen als volgt:
•Punt$Pbeweegt voor$0 \leq t \leq 1met een constante snelheid over lijnstuk$A Cvan$Anaar$C. Er geldt:\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\,\cdot\overrightarrow{A C}\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\,\cdot\cdot\overrightarrow{A C}\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\,\cdot\overrightarrow{A C}\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\cdot\overrightarrow{A C}\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\cdot\overrightarrow{A C}$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \cdot \overrightarrow{A C}
•Punt$Qbeweegt voor$0 \leq t \leq 1met een constante snelheid over lijnstuk$C Bvan$Cnaar$B. Er geldt:\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O C}+t\,\cdot\overrightarrow{C B}\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O C}+t\cdot\overrightarrow{C B}\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O C}+t\cdot\overrightarrow{C B}$\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O C}+t \cdot \overrightarrow{C B}
•Terwijl punten$Pen$Qbewegen, schuift punt$Rop het bewegende lijnstuk$P Qvan$Pnaar$Q. Er geldt:\overrightarrow{O R}=\overrightarrow{O P}+t\,\cdot\overrightarrow{P Q}\overrightarrow{O R}=\overrightarrow{O P}+t\cdot\overrightarrow{P Q}\overrightarrow{O R}=\overrightarrow{O P}+t\cdot\overrightarrow{P Q}$\overrightarrow{O R}=\overrightarrow{O P}+t \cdot \overrightarrow{P Q}Het punt$Rdoorloopt van$t=0tot$t=1een kromme van$Anaar$B. Deze kromme wordt de Bézierkromme (van$A,$Ben$C) genoemd, en dat is kromme$Kuit figuur 2.
Figuur 4 is op de uitwerkbijlage uitvergroot weergegeven.
$\overrightarrow{O R}is uit te drukken in$t, \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}en$\overrightarrow{O C}. Er geldt voor elke waarde van$t:
In de rest van deze opgave kijken we naar een ander voorbeeld. Het gaat niet meer om de letter 'a'.
De coördinaten vanA,\,BA,BA,B$A, Ben$Czijn nu als volgt:A(0{,}4),\,B(2{,}2)A(0{,}4),B(2{,}2)A(0{,}4),B(2{,}2)$A(0{,}4), B(2{,}2)en$C(3{,}0). Ook nu is$Chet snijpunt van de raaklijnen in$Aen$B.
De Bézierkromme van$A, Ben$Cis, volgens de formule voor$\overrightarrow{O R}, te beschrijven met behulp van vectoren. Het is echter ook mogelijk deze Bézierkromme met bewegingsvergelijkingen te beschrijven.
We bekijken het punt$Lmet de volgende bewegingsvergelijkingen:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=-4 t^{2}+6 t \\ y(t)=6 t^{2}-8 t+4 \end{array}\text { met } 0 \leq t \leq 1\right.
De baan van$Lis weergegeven in figuur 5.
figuur 5
Er geldt: de baan van$Lis de Bézierkromme die hoort bij de punten$A, Ben$C.
Bewijs dit met behulp van de formule voor$\overrightarrow{O R}.
Op deze pagina behandelen we vraag 7 van het centraal examen wiskunde B vwo 2022 – tijdvak 1. Deze vraag is onderdeel van Letter op het computerbeeldscherm, en is 3 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
Oude antwoorden terugzien
Extra uitleg vragen aan onze AI-hulp via de knop "Stel je vraag"
Klikken op de bijbehorende onderwerpen uit de examenroute om verdieping te vinden
Om deze website goed te laten werken plaatsen we functionele cookies. We plaatsen analytische cookies om te bepalen welke onderdelen van de website het meest interessant zijn voor bezoekers. We plaatsen marketing cookies om de effectiviteit van onze campagnes te kunnen meten.
