Oefen de examens van de afgelopen 8 jaar, met uitleg van docenten bij elke vraag
Extra uitleg en oefenen bij elk onderwerp uit je examen
Loop je vast? Ainstein, je AI-tutor, kijkt met je mee en helpt je verder
De rand van een letter op een computerbeeldscherm is een aaneenschakeling van meerdere krommen. Zo is de rand van de (uitvergrote) letter 'a' in figuur 1 gemaakt met behulp van zestien krommen, die je in figuur 2 ziet.
figuur 1figuur 2figuur 3figuur 4
Elk van de zestien krommen kan met een formule worden beschreven. Computers hebben die formules nodig om de letters op het scherm te kunnen tekenen. Als voorbeeld bekijken we de krommeKtussenAenB, die in figuur 2 dikker is getekend.
We gaan ervan uit dat er vier gegevens bekend zijn:
•de coördinaten vanA;
•de coördinaten vanB;
•de richting van de raaklijn inAaan de kromme;
•de richting van de raaklijn inBaan de kromme.
Zie figuur 3. De vraag is nu hoe je uit deze vier gegevens een formule voor de krommeKmaakt.
In figuur 4 zie je de puntenAenBen de twee raaklijnen, geplaatst in een assenstelsel. Gegeven is datAde coördinaten\left(\frac{1}{15},\frac{4}{3}\right)heeft,Bde coördinaten\left(1,\frac{19}{10}\right), dat de raaklijn inBhorizontaal is en dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn inAgelijk is aan4. Het puntCis het snijpunt van de twee raaklijnen en speelt een belangrijke rol bij de constructie van de krommeK.
3 punten
Open vraag
Om de krommeKte kunnen construeren, worden er, behalve de drie vaste puntenA, BenC, drie bewegende puntenP, QenRgebruikt. Deze bewegen als volgt:
•PuntPbeweegt voor0 \leq t \leq 1met een constante snelheid over lijnstukA CvanAnaarC. Er geldt:\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\,\cdot\overrightarrow{A C}
•PuntQbeweegt voor0 \leq t \leq 1met een constante snelheid over lijnstukC BvanCnaarB. Er geldt:\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O C}+t\,\cdot\overrightarrow{C B}
•Terwijl puntenPenQbewegen, schuift puntRop het bewegende lijnstukP QvanPnaarQ. Er geldt:\overrightarrow{O R}=\overrightarrow{O P}+t\,\cdot\overrightarrow{P Q}Het puntRdoorloopt vant=0tott=1een kromme vanAnaarB. Deze kromme wordt de Bézierkromme (vanA,BenC) genoemd, en dat is krommeKuit figuur 2.
Figuur 4 is op de uitwerkbijlage uitvergroot weergegeven.
\overrightarrow{O R}is uit te drukken int, \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}en\overrightarrow{O C}. Er geldt voor elke waarde vant:
In de rest van deze opgave kijken we naar een ander voorbeeld. Het gaat niet meer om de letter 'a'.
De coördinaten vanA,\,BenCzijn nu als volgt:A(0{,}4),\,B(2{,}2)enC(3{,}0). Ook nu isChet snijpunt van de raaklijnen inAenB.
De Bézierkromme vanA, BenCis, volgens de formule voor\overrightarrow{O R}, te beschrijven met behulp van vectoren. Het is echter ook mogelijk deze Bézierkromme met bewegingsvergelijkingen te beschrijven.
We bekijken het puntLmet de volgende bewegingsvergelijkingen:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=-4 t^{2}+6 t \\ y(t)=6 t^{2}-8 t+4 \end{array}\text { met } 0 \leq t \leq 1\right.
De baan vanLis weergegeven in figuur 5.
figuur 5
Er geldt: de baan vanLis de Bézierkromme die hoort bij de puntenA, BenC.
Bewijs dit met behulp van de formule voor\overrightarrow{O R}.
Op deze pagina behandelen we vraag 7 van het centraal examen wiskunde B vwo 2022 – tijdvak 1. Deze vraag is onderdeel van Letter op het computerbeeldscherm, en is 3 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
Oude antwoorden terugzien
Extra uitleg vragen aan onze AI-hulp via de knop "Stel je vraag"
Klikken op de bijbehorende onderwerpen uit de examenroute om verdieping te vinden
