Formules
Goniometrie
\begin{aligned} & \sin (t+u)=\sin (t) \cos (u)+\cos (t) \sin (u) \\ & \sin (t-u)=\sin (t) \cos (u)-\cos (t) \sin (u) \\ & \cos (t+u)=\cos (t) \cos (u)-\sin (t) \sin (u) \\ & \cos (t-u)=\cos (t) \cos (u)+\sin (t) \sin (u) \\ & \sin (2 t)=2 \sin (t) \cos (t) \\ & \cos (2 t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)=2 \cos ^{2}(t)-1=1-2 \sin ^{2}(t) \end{aligned}
In de metaalindustrie worden met een boormachine gaten in harde materialen geboord. Zie de foto.
De levensduur van een boor is afhankelijk van de (snij)snelheid: dit is de snelheid waarmee de buitenkant van de boor door het metaal snijdt. Bij een hoge snelheid zal de boor snel slijten waardoor de levensduur kort is.
Rond 1900 stelde F.W. Taylor het volgende verband vast:
\,\,\,\,V\cdot T^{m}=C\,\,\,V\cdot T^{m}=C\,\,\,V\cdot T^{m}=C\,\,\,V\cdot T^{m}=C\,\,V\cdot T^{m}=C\,\,V\cdot T^{m}=C\,\,V\cdot T^{m}=C\,V\cdot T^{m}=C\,V\cdot T^{m}=C\,V\cdot T^{m}=CV\cdot T^{m}=CV\cdot T^{m}=CV \cdot T^{m}=C
Hierin is:
•$Vde (snij)snelheid van de boor (in meter per minuut (m/min)) ($Vligt vaak tussen de 5 en$150 \mathrm{~m} / \mathrm{min}),
•$Tde levensduur (in minuten),
•$meen constante die afhangt van het materiaal waarvan de boor is gemaakt,
•$Ceen constante die afhangt van het materiaal waarin wordt geboord.
In een fabriek boort één boormachine 24 uur per dag dezelfde soort gaten. Het is belangrijk de snelheid van de boor goed in te stellen: een hoge snelheid betekent dat het boren van een gat minder tijd kost. Maar daar staat tegenover dat de boor sneller vervangen moet worden.
Men wil berekenen bij welke snelheid$Vhet aantal geboorde gaten$Aper 24 uur maximaal is.
Om$Auit te kunnen drukken in$Vdoen we de volgende aannames:
a Het aantal gaten$Ndat in één minuut geboord kan worden, is recht evenredig met de snelheid$Vvan de boor. Bij een snelheid van$20 \mathrm{~m} / \mathrm{min}boort deze boor 6 gaten in één minuut.
b Met behulp van de formule van Taylor is te berekenen na hoeveel minuten boren de boor vervangen moet worden. Voor het boorproces in deze fabriek geldt$C=150en$m=0{,}25, dus$V \cdot T^{0{,}25}=150.
c Het vervangen van een boor kost telkens 2 minuten. De boormachine is dus maar een deel van de tijd bezig met boren. Voor dit deel$dgeldt:$d=\frac{T}{T+2}
d Voor het aantal geboorde gaten$Aper 24 uur geldt:$A=1440 \cdot N \cdot d
Met de aannames a, b, c en d kun je voor$Ade volgende formule opstellen:
\,\,\,\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,\,\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,\,\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,\,\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}\,A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}A=\frac{432 V}{\frac{2}{150^{4}} \cdot V^{4}+1}
Leid deze formule voor$Aaf uit de aannames a, b, c en d.
Op deze pagina behandelen we vraag 6 van het centraal examen wiskunde B vwo 2019 – tijdvak 2. Deze vraag is onderdeel van Optimale snijsnelheid, en is 5 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
