Goniometrie
\begin{aligned} & \sin (t+u)=\sin (t) \cos (u)+\cos (t) \sin (u) \\ & \sin (t-u)=\sin (t) \cos (u)-\cos (t) \sin (u) \\ & \cos (t+u)=\cos (t) \cos (u)-\sin (t) \sin (u) \\ & \cos (t-u)=\cos (t) \cos (u)+\sin (t) \sin (u) \\ & \sin (2 t)=2 \sin (t) \cos (t) \\ & \cos (2 t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)=2 \cos ^{2}(t)-1=1-2 \sin ^{2}(t) \end{aligned}
Voor elke waarde van$kmet$k>0wordt de functie$f_{k}gegeven door:
f_{k}(x)=\frac{1}{2 k}(\mathrm{e}^{k x}+\mathrm{e}^{-k x})
De grafiek van$f_{k}wordt een kettinglijn genoemd.
Op de grafiek van$f_{k}worden twee punten$Pen$Qmet gelijke$y-coördinaat gekozen. De lengte van het deel van de kettinglijn tussen$Pen$Qnoemen we$l. De top$Tvan de kettinglijn ligt op de$y-as. De afstand van$Ttot de horizontale lijn$P Qnoemen we$d. Zie figuur 1 .
Er geldt:$k=\frac{8 d}{l^{2}-4 d^{2}}
Als het deel van de grafiek van$f_{k}tussen$Pen$Qwordt gespiegeld in de$x-as en vervolgens omhoog wordt geschoven, ontstaat een boog.
Bij de bouw van de Sheffield Winter Garden, een in 2003 geopende plantenkas, is gebruikgemaakt van dergelijke bogen. Zie de foto.
De ontwerpers hebben een tekening gemaakt van het vooraanzicht van het gebouw. Dit vooraanzicht bestaat uit acht bogen. Zie figuur 2. In de rest van deze opgave kijken we naar de grootste boog. Deze boog is in figuur 2 dikker gedrukt.
foto
Voor de grootste boog in deze tekening geldt:
•de lengte van de boog is 49,63 meter;
•het hoogste punt van de boog bevindt zich 20,51 meter boven de grond.
Bij deze grootste boog gaan we een functievoorschrift opstellen.
We kiezen daartoe een assenstelsel waarbij de$x-as door de onderste punten van de boog gaat en de top van de boog op de$y-as ligt.
De eenheden langs de assen zijn meters.
In dit assenstelsel wordt de boog weergegeven door de grafiek van een functie$h.
De grafiek van deze functie$hontstaat door de grafiek van een functie$f_{k}te spiegelen in de$x-as en de beeldgrafiek vervolgens omhoog te schuiven.
Er is precies één waarde van$kwaarvoor de beeldgrafiek de juiste lengte en hoogte heeft.
Stel een functievoorschrift op van$h. Rond de getallen in je eindantwoord af op twee decimalen.
Op deze pagina behandelen we vraag 11 van het centraal examen wiskunde B vwo 2018 – tijdvak 1. Deze vraag is onderdeel van Sheffield Winter Garden, en is 5 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
