Oplossen van logaritmische vergelijkingen

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen dat een logaritme het omgekeerde van een exponentiële functie is.

•Je kunt de rekenregels van logaritmes toepassen.

•Je kunt logaritmische vergelijkingen oplossen.

•Je kunt werken met het natuurlijke logaritme.

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen

g^{a}=mg=mis het omgekeerde van\log_{g}{m}=a\log_{g}{m}=\log_{g}{m} . In dit geval is g het grondtal, a de exponent en m de macht. Stel dat3^{c}3gelijk is aan. Om c te berekenen, gebruik je de logaritmec=\log_3{81}3c=\log_3{81}3:c=\log_3{81}, wat resulteert inc=4. Andersom, als je bijvoorbeeld \log_4m=5\log_4=5\log_454\log_454\log54545454545445454\log_{m}54\log54\log{m}54\log{m}\&54\log{m}\&\#54\log{m}\&\#x54\log{m}\&\#x354\log{m}\&\#x3D5hebt, kun je dit omzetten naar een exponentiële vergelijking:m=4^5m4^5. Dit geeft m=1024m1024m\&1024m\&\#1024m\&\#x1024m\&\#x31024m\&\#x3D1024.

Houd er rekening mee dat het grondtal groter dan moet zijn en niet gelijk aanmag zijn.

Rekenregels van de logaritme

Wanneer een logaritme zonder grondtal wordt geschreven, wordt aangenomen dat het een logaritme met grondtalis (de tienlogaritme of 'tienlog'), wat ook de standaardlogaritme op rekenmachines is\left(\log x=\log_{10}x\right).

•\log_{g}{a} + \log_{g}{b} = \log_{g}{a \cdot b}

•\log_{g}{a} - \log_{g}{b} = \log_{g}{\frac{a}{b}}

•\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}g}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{l}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{lo}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{log}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}\left(\right)}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}\left(a\right)}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}\left(\right)}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\log}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\frac{}{\placeholder{}}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\frac{\log}{\placeholder{}}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\frac{\log}{\placeholder{}}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\frac{lo}{\placeholder{}}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\frac{l}{\placeholder{}}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}\log_{g}{a}=\log_{g}{}=\log_{g}{m}=\log_{g}{m}

•\log_{g}{a^{p}} = p \cdot \log_{g}{a}

Oefenen met logaritmische vergelijkingen

Voorbeeld 1

Los op:7^{\left(x+4\right)}=3157^{\left(x+4\right)}=317^{\left(x+4\right)}=37^{\left(x+4\right)}=7^{\left(x+4\right)}7^{\left(x+4\right)}7^{\left(x+\right)}7^{\left(x\right)}7^{\left(\right)}7. Schrijf de exponentiële vergelijking om naar een logaritmische,x+4=\log_7315x+4=\log_731x+4=\log_73x+4=\log_7x+4=\logx+4=x+4=x+4=x+4=x+4=x+4x+x+4x+x. Maak dan gebruik van de rekenregel . Dit geeftx+4=\frac{\log315}{\log7}x+4=\frac{\log315}{\log}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{l}x+4=\frac{\log315}{lo}x+4=\frac{\log315}{log}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{\placeholder{}}x+4=\frac{\log31}{\placeholder{}}x+4=\frac{\log3}{\placeholder{}}x+4=\frac{\log}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}x+4=x+4=/x+4=x+4=x+4=x+4=x+4x+xx=x=4x=4=x=4x=x. Als je dit uitrekent met je rekenmachine krijg je ongeveerx+4\approx2.956x+4\approx2.95x+4\approx2.9x+4\approx2.x+4\approx2x+4\approxx+4x+4x+4x+4x+4x+4\appx+4x+4x+4x+4x+4x+4=x+4x+x. Door van beide kantenaf te trekken krijg jex=-1.044x=-1.04x=-1.0x=-1.x=-1x=-x=x.

Voorbeeld 2

Los de volgende vergelijking op:3+\log_2{\left(4x-8\right)}=73+\log_2{\left(4x-8\right)}=73+\log_2{4x-8}=73+\log_2{4x-8}=3+\log_2{4x-8}3\log_2{4x-8}\log_{2}{4x-8}. We halen als eerste het getalvan de linkerkant naar de rechterkant doorvan beide kanten af te trekken. Dit geeft ons\log_2{\left(4x-8\right)}=4\log_2{\left(4x-8\right)}=4\log_2{4x-8}=4\log_2{4x-8}=\log_{2}{4x-8}. Dan kunnen we de logaritme omschrijven naar een vergelijking met een macht. Dit geeft ons2^4=4x-82=4x-8. Als we dit vereenvoudigen, krijgen we16=4x-816=4x-16=4x16=416=16144x4x=4x=2en dus4x=24\rightarrow x=64x=24\rightarrow x=4x=24\rightarrow x4x=24\rightarrow4x=244x=244x=244x=244x=244x=24x=244x=24\right4x=244x=244x=244x=244x=244x=244x=244x=24x=4x4xx=.

Voorbeeld 3

We hebben de volgende vergelijking die we op willen lossen:\log_3{\left(2x+5\right)}+\log_3{10}=5\log{\left(2x+5\right)}+\log_3{10}=5\log{_{}\left(2x+5\right)}+\log_3{10}=5\log{_3\left(2x+5\right)}+\log_3{10}=5\log{_3\left(2x+5\right)}+\log{10}=5\log{_3\left(2x+5\right)}+3\log{10}=5\log{\left(2x+5\right)}+3\log{10}=53\log{\left(2x+5\right)}+3\log{10}=53\log{\left(2x+5\right)}+3\log{10}5. Omdat de grondtallen van de logaritmes hetzelfde zijn en ze bij elkaar worden opgeteld, kunnen we de termen tussen haakjes vermenigvuldigen:\log_3\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)=5\log_3\left(\left(2x+5\cdot10\right.\right)=5\log_3\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)=5\log_3\left(\left(2x+5\right)\right)\cdot10=5\log_3\left(2x+5\right)\cdot10=5\log_3\left(2x+5\right)\cdot1=5\log_3\left(2x+5\right)\cdot=5\log_3\left(2x+5\right)=5\log_3\left(2x+5=5\right)\log_3\left(2x+=5\right)\log_3\left(2x=5\right)\log_3\left(2=5\right)\log_3\left(=5\right)\log_3\left(3=5\right)\log_3\left(=5\right)\log_3=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left.5\cdot10\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left.\left(5\cdot10\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left.\left(\left(5\cdot10\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left.\left(\left(\left(5\cdot10\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left.\left(\left(\left(\left(5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left.\left(\left(\left(\left(\left(5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left.\left(\left(\left(\left(\left(+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left(\left(\left(\left(\left(\left(+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot10\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot1\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\cdot\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\right)\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2x\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(2\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)\right)}=5\log_3{\left(\left(2x+5\cdot10\right)\right)}=5\log_3{\left(2x+5\cdot10\right)}=5\log_3{\left.2x+5\cdot10\right)}=5\log_3{\left.\left(2x+5\right.\cdot10\right)}=5\log_3{\left.\left(2x+5\right.\cdot10\right)}\=5\log_3\=5\log_3{\left.2x+5\cdot10\right)}\=5\log_3{\left.\left(2x+5\right.\cdot10\right)}\=5\log_3{\left.\left(2x+5\right)\cdot10\right)}\=5\log_3{\left.\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3{\left.\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3{\left.\left(2x+5\right)\cdot10\right)})=5\log_3)=5\log_3{\left.\left(2x+5\right)10\right)})=5\log_3{\left.\left(2x+5\right)\cdot10\right)})=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)})=5\log_3=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)})=5\log_3)=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)})=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3=5\log_3{\left.\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3=5\log_3{\left(\left.2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log_3{_{}\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log{_{}\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log{_3\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5\log{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=53\log{\left(\left(2x+5\right)\cdot10\right)}=5. Dit vereenvoudigt tot\log_3{\left(20x+50\right)}=5\log{\left(20x+50\right)}=5\log{_{}\left(20x+50\right)}=5\log{_3\left(20x+50\right)}=5\log{_3\left(20x+50\right)}=5\log{_3\left(20x+50\right)}=5\log{\left(20x+50\right)}=5. Zet dit om naar een exponentiële vergelijking:. Dit geeft. Vervolgens is, dusof.

Voorbeeld 4

We willen weten wat de waarde van x is in de volgende vergelijking:\log_9{243}=\log_4{\left(x+3\right)}\log_9{243}=\log{\left(x+3\right)}\log_9{243}=4\log{\left(x+3\right)}\log{243}=4\log{\left(x+3\right)}\log{_{}243}=4\log{\left(x+3\right)}\log{_9243}=4\log{\left(x+3\right)}\log{243}=4\log{\left(x+3\right)}. De linkerzijde kan worden berekend met de rekenregel\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}g}.\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}g}\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}g}:\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}g}:\frac{\log{243}}{\log{9}}=2.5\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}g}:\frac{\log{243}}{\log{9}}=25\log_{g}{a}=\frac{\log_{m}a}{\log_{m}g}:\frac{\log{243}}{\log{9}}=2,5Dit geeft. De vergelijking wordt dan2.5=\log_4{\left(x+3\right)}2.5=\log{\left(x+3\right)}2.5=4\log{\left(x+3\right)}25=4\log{\left(x+3\right)}2,5=4\log{\left(x+3\right)}. Zet dit om naar een exponentiële vergelijking:x+3=4^{2.5}x+3=4^{25}x+3=4^{2,5}. Dit geeft x+3=32. Dusx=29.

Voorbeeld 5

Los op:\log_5{x^6}=18\log{x^6}=185\log{x^6}=18. Gebruik de rekenregel\log_{g}{a^{p}}=p\cdot\log_{g}{a}om de exponent voor de logaritme te plaatsen:6\cdot\log_5{x}=186\cdot\log{x}=186\cdot5\log{x}=18. Deel beide zijden door6:\log_5{x}=36:\log_5{x}\&\#x3D;36:\log{x}\&\#x3D;36:5\log{x}\&\#x3D;3. Zet dit om naar een exponentiële vergelijking:x=5^3. Dusx=125.

Natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme wordt meestal aangeduid met^{\prime}\ln^{\prime}^{\prime}^{\prime}^{\prime}^{\prime}^{\prime}^{\prime}^{\prime}^{\prime}^{\prime}l^{\prime}. Dit is gerelateerd aan het getal 'e', dat ongeveer gelijk is aan. Alse^{x}=ae=ageldt, dan is de manier om x te vinden door de natuurlijke logaritme van a te nemen. Dusx=\ln(a)x=(a)x=(a)x=(a)x=(a)x=l(a). De natuurlijke logaritme is dan eigenlijk ook niets anders dan\log_{e}{a}, wat we dus schrijven als\ln(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)l(a). Daarnaast kun je een getal of x schrijven als natuurlijke logaritme met de volgende rekenregel:x=\ln(e^{x}).

Voorbeeld 1

Herleid tot één logaritme:3+\ln23+23+23+23+23+l23+ln23+\ln ln23+\ln2ln23+\ln23ln23+\ln23+ln23+23+ln23+23+ln23+23+ln23+23+ln23+l23+ln23+ln23+ln2. Schrijf3als\ln e^3\ln e\ln e3\ln e3=\ln e3e3e3e3e3le3lne3ln⁡e3ln⁡e3lln⁡e3lnln⁡e3lne. De uitdrukking wordt dan\ln e^3+\ln2\ln e^3+2\ln e^3+2\ln e^3+2\ln e^3+2\ln e^3+l2\ln e^3+ln2e^3+ln2e^3+ln2e^3+ln2e^3+ln2le^3+ln2lne^3+ln2ln⁡e^3+ln2ln⁡e+ln2ln⁡e3+ln2. Gebruik de rekenregel\log_{g}{a}+\log_{g}{b}=\log_{g}{a \cdot b}\log_{g}{a}+\log_{g}{b}=\log_{g}{a \cdot b}:\ln e^3+\ln2=\ln{\left(2e^3\right)}\log_{g}{a}+\log_{g}{b}=\log_{g}{a \cdot b}:\ln{\left(e^3 \cdot2\right)}=\ln{\left(2e^3\right)}\log_{g}{a}+\log_{g}{b}=\log_{g}{a \cdot b}:\ln{\left(e^3 \cdot2\right)}\&\#x3D;\ln{\left(2e^3\right)}. Dit geeft\ln e^3+\ln2=\ln{\left(2e^3\right)}.

Voorbeeld 2

Lose^{x}=200op voor x. Zet dit om naar de natuurlijke logaritme, de oplossing is danx=\ln{200}\approx5,298.