Herleiden

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat herleiden is en waarom het handig is.

•Je kunt vergelijkingen herleiden om ze overzichtelijker of eenvoudiger te maken.

•Je kunt negatieve en gebroken exponenten correct herleiden.

Concept van herleiden

Herleiden kan worden beschouwd als een puzzel. Je herschikt en past details aan zonder de totale betekenis of waarde van de formule te veranderen.

Herleiden kan onder meer handig zijn bij het netjes opschrijven van antwoorden, het oplossen van vergelijkingen, of het herformuleren van expressies met negatieve exponenten of gebroken exponenten.

Basis van algebra en herleiden

In het herleiden kom je basisprincipes van de algebra tegen. Zo hebben we bijvoorbeeld de regel dat exponenten bij een macht met hetzelfde grondtal bij elkaar opgeteld mogen worden: a^3\cdot a^2a^3\cdot a^{}a^3\cdot a^3a^3\cdot a^{\placeholder{}}a^3\cdot aa^3\cdot a2a^{}\cdot a2a^2\cdot a2a^{\placeholder{}}\cdot a2a\cdot a2wordt dan a^5a^{\placeholder{}}a.

Als we a^2\cdot a^{1{,}5}a^{}\cdot a^{1{,}5}a^5\cdot a^{1{,}5}a^5\cdot a^{1{,}}a^5\cdot a^1a^5\cdot a^1,a^5\cdot a^1,5a^5\cdot a^1,a^5\cdot a^1a^5\cdot a^{}a^5\cdot a^5a^5\cdota^5\sqrt{\placeholder{}}a nemen, kunnen we ook hier bij het herleiden de exponenten bij elkaar optellen, wat a^{3{,}5}a^{3{,}}a^3a^3,a^3,5a^3,a^3a^{}a^5geeft.

Herleiden van negatieve, gebroken en machtsexponenten

Tijdens het herleiden wil je vaak van negatieve of gebroken exponenten af. Een negatieve exponent geeft in feite aan dat de waarde onder de deling staat. Dus a^{-6}a^{-}a^{-5}a^5aa-kan je herleiden naar\frac{1}{a^{6}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\frac{1}{a^{6}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}\large{\frac{1}{a^{6}}}.

Een gebroken exponent geeft dan weer een wortel aan. Zo is a^{\frac12}a^{\frac{1}{\placeholder{}}}a^{\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}}a^{}a^5 hetzelfde als de\sqrt{a}\small{\sqrt{a}}.

Herleiden van formules

Tijdens het herleiden komen we vaak formules tegen. Zo kun je bij gelijkgrondse machten met verschillende exponenten de exponenten optellen of vermenigvuldigen, afhankelijk van de aard van de operatie tussen de machten.

Maar we kunnen formules ook herleiden naar een macht van een macht. Dan vermenigvuldigen we de exponenten. Zo wordt (a^{b})^{c}(a^{b})^{c}(a^{b})^{\placeholder{}}(a^{b})(a^{b})c(a^{\placeholder{}})c(a^{\placeholder{}}b)c gelijk aan a^{b\cdot c}a^{b\cdot}a^{b}a^{b}\cdota^{b}\cdot ca^{b}b\cdot ca^{\placeholder{}}b\cdot c

Vergelijkingen met machten herleiden

Vergelijkingen met machten kunnen we vaak snel oplossen als we zien dat er een gunstig grondtal te vinden is. Als a^{p}a^{}a^5 gelijk is aan a^{q},a^{},a^5, dan moeten de exponenten p en q gelijk zijn aan elkaar.