Sinusoïden

Leerdoelen

•Je kunt een sinusgrafiek uit de eenheidscirkel afleiden.

•Je kunt de vorm verklaren van een sinusoïde.

•Je kunt transformaties toepassen op een sinusoïde.

Eenheidscirkel

In een eenheidscirkel is er een punt dat rond de cirkel loopt. Dit creëert een hoek in de oorsprong, die we alfa (α) noemen. Op het punt waar de hoek nul is, is de sinus van nul ook nul en de cosinus van nul is één (\sin(0)=0{,}\,\cos\left(0\right)=1\sin(0)=0{,}\,\cos\left(0\right)=\sin(0)=0{,}\,\cos\left(0\right)\sin(0)=0{,}\,\cos\left(0\right)\sin(0)=0{,}\,\cos\left(\right)\sin(0)=0{,}\,\cos\sin(0)=0{,}\,\sin(0)=0{,}\,\sin(0)=0{,}\,\sin(0)=0{,}\,\sin(0)=0{,}\,\sin(0)=0{,}\sin(0)=0{,}\sin(0)=0{,}\sin(0)=0{,}\sin(0)=0{,}\sin(0)=0\sin(0)=\sin(0)\sin(0.\sin(.\sin(). Dit is niet in graden, maar in radialen. Naarmate dat punt rond de cirkel gaat, wordt gekeken naar hoeveel van de cirkel het heeft bedekt. Een volledige omwenteling rond de cirkel is gelijk aan2\pi2222radialen.

Sinus- en cosinusgrafieken

In de sinusgrafiek en de cosinusgrafiek bekijken we de hoogte en breedte van het punt op de eenheidscirkel naarmate het zich rond de cirkel beweegt. In bovenstaande afbeelding geeft de bovenste grafiek de sinusgrafiek weer en de onderste grafiek geeft de cosinusgrafiek weer.

Transformaties van sinus- en cosinusgrafieken

Een translatie is een horizontale of verticale beweging van de functie zonder verandering in de vorm. Als we de sinus- en cosinusgrafiek vergelijken (zie de afbeelding hieronder), zien we een horizontale verschuiving (translatie). De waarde van deze verschuiving is\frac12\pi\frac{1}{\placeholder{}}\pi\frac{}{\placeholder{}}\pi\frac{2}{\placeholder{}}\pi\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}\pi\pi. Dit betekent dat\sin(x+\frac{\pi}{2})(x+\frac{\pi}{2})(x+\frac{\pi}{2})(x+\frac{\pi}{2})(x+\frac{\pi}{2})(x+\frac{\pi}{2})s(x+\frac{\pi}{2})si(x+\frac{\pi}{2})sin(x+\frac{\pi}{2})sin(x+\frac{}{2})sin(x+\frac{}{2})sin(x+\frac{}{2})sin(x+\frac{}{2})sin(x+\frac{\pi}{2})sin(x+\frac{\pi}{\placeholder{}})sin(x+\pi)sin(x+\pi/)gelijk is aan\cos(x)(x)(x)(x)(x)(x)c(x)co(x).

Amplitude en periode

De amplitude is de maximale uitwijking van de grafiek ten opzichte van de evenwichtsstand. De periode is de afstand op de x-as voor een volledige cyclus, dus in dit geval van top tot top of van dal tot dal. De standaard sinusoïde, zoalsy=\sin⁡(x)y=⁡(x)y=⁡(x)y=⁡(x)y=⁡(x)y=⁡(x)y=s⁡(x)y=si⁡(x)y=sin⁡(x)y=sin⁡(x)yy=sin⁡(x)y=y=sin⁡(x)y=sy=sin⁡(x)y=siy=sin⁡(x)y=siny=sin⁡(x)y=sin(y=sin⁡(x)y=sin(x, heeft een periode van2\pi2\pi2radialen.

De formule van een sinusoïde opstellen

Eén manier om de vormen van een sinusoïde te berekenen, is door middel van de formuley=a\cdot\sin(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot s(b(x-c))+dy=a\cdot si(b(x-c))+d. In deze formule staat:

•voor de amplitude,

•voor het aantal periodes binnen2\pi2222, dusb=\frac{2\pi}{periode}b\frac{2\pi}{periode}\frac{2\pi}{periode}

•voor het beginpunt. Bij een sinus is dit de x-waarde waar de grafiek voor het eerst stijgend door de evenwichtsstand gaat.

•voor de evenwichtsstand

In de bovenstaande afbeelding is de groene grafiek een weergave van een vervormde sinus. We willen nu de formule van deze grafiek opstellen. We weten dat de standaard formuley=a\cdot\sin(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot(b(x-c))+dy=a\cdot s(b(x-c))+dy=a\cdot si(b(x-c))+dis. Nu moeten we de waarden vana,\,b,\,ca,\,b,ca,\,b,ca,\,b,ca,b,ca,b,cenbepalen.

•Eerst bepalen we, de amplitude. Dit bereken je door het verschil tussen het hoogste en het laagste punt te delen door 2:\frac{max-min}{2}\frac{max-mini}{2}\frac{max-minim}{2}\frac{max-minimu}{2}\frac{max-minimum}{2}\frac{maxi-minimum}{2}\frac{maxim-minimum}{2}\frac{maximu-minimum}{2}\frac{maximum-minimum}{2}\frac{maximum-minimum}{\placeholder{}}maximum-minimum. In dit geval is dat dus\frac{6-0}{2}=3\large{\frac{6 - 0}{2}}\frac{6-0}{2}=3\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}\large{\frac{6 - 0}{2}}.

•Dan, wat te berekenen is met. We zien dat de grafiek een dal heeft bijx=0x=0xx=0x=en het volgende dal bijx=4\pix=4\pi xx=4\pi x=x=4\pi x=4. De afstand tussen twee opeenvolgende dalen is de periode, dus de periode is4\pi4\pi4. Dit betekent dat een periode4\pi444444is. Voorbetekent dit dusb=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}b\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}\large{\frac{2 \pi}{4 \pi}}.

•Omte bepalen moeten we kijken waar de sinus begint. De standaard sinus begint bijin de evenwichtsstand en is dan afnemend stijgend. Hier zoeken we dus ook zo'n punt. In dit geval ligt zo'n punt op, dus.

•Als laatste willen we de waarde van, de evenwichtsstand, weten. Dit doe je door het gemiddelde te nemen van het hoogste en laagste punt:\frac{max+min}{2}\frac{maxmin}{2}. In dit geval is dat gelijk aan\frac{6+0}{2}=3\frac{6+}{2}=3\frac62=3\frac{06}{2}=3\frac{0+6}{2}=3\large{\frac{ 0 + 6)}{2}}.

Als we al deze waarden van de coëfficiënten weten, kunnen we dit invullen in de standaardformule. We krijgen dany=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi\right)\right)+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi\right)+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi\right.+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi)\right.+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi)\right)+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi)\right.+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi)\right)+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi)\right.+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\left(\frac12\left(x-\pi)\right)+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3\right)y=3\cdot\sin\frac12\left(x-\pi)\right)+3=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)\right)+3.=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right..=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+3y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)+y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\pi\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac12\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\frac{1}{\placeholder{}}\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-1\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x-\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12x\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac12\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(\frac{1}{\placeholder{}}\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right.)=3\cdot\sin\left(1\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right..=3\cdot\sin\left(1\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right).=3\cdot\sin\left(1\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right..=3\cdot\sin\left(1\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right).=3\cdot\sin\left(1\right)y=3\cdot\sin(\frac12\left(x-\pi)+3\right))=3\cdot\sin\left(1\right)y=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdot\sin\left(1\right)y=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdot\sin\left(\right)y=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdot\siny=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdoty=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdoty=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdoty=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdoty=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3\cdoty=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=3y=3\cdot\sin(\frac12x-\pi)+3)=y=3\cdot\sin(\frac12(x-\pi))+3y=3\cdot\sin(\frac{1}{\placeholder{}}(x-\pi))+3y=3\cdot\sin(1(x-\pi))+3y=3\cdot\sin((x-\pi))+3y=3\cdot((x-\pi))+3y=3\cdot((x-\pi))+3y=3\cdot((x-\pi))+3y=3\cdot((x-\pi))+3y=3\cdot((x-\pi))+3y=3\cdot s((x-\pi))+3y=3\cdot si((x-\pi))+3.