Leerdoelen
•je kunt uitleggen wat een directe formule is.
•je kunt zelf een directe formule opstellen.
Een directe formule
Een directe formule maakt het mogelijk om elke term van een rij direct te berekenen, zonder dat je de vorige termen hoeft te kennen. Dit is in tegenstelling tot een recursieve formule, waarbij je de volgende term van een rij berekent aan de hand van de vorige term(en).
Voorbeeld startvraag: De recursieve formule U(n) = 3 * U(n-1) met U(1) = 4 beschrijft een rij waarbij elke volgende term driemaal de vorige term is. U(1) = 4 U(2) = 3 * 4 = 12 U(3) = 3 * 12 = 36 Om de tiende term (U(10)) van deze rij te berekenen met de recursieve formule, moet je eerst alle voorgaande termen uitrekenen. De directe formule lost dit op, zodat je U(10) in één keer kunt berekenen.
Hoe stel je een directe formule op voor een rekenkundige rij?
Een rekenkundige rij is een rij waarbij steeds hetzelfde getal bij de vorige term wordt opgeteld om de volgende term te krijgen. Grafisch gezien correspondeert een rekenkundige rij met een lineair verband, wat een rechte lijn is.
De algemene vorm van een lineair verband is Y = aX + b, waarbij 'a' de richtingscoëfficiënt is (het getal dat steeds wordt opgeteld) en 'b' het startgetal. Voor een rij is het startgetal de waarde van de term op positie 0 (U(0)), wat overeenkomt met het snijpunt met de y-as in een grafiek.
De directe formule voor een rekenkundige rij is: U(n) = a * n + U(0)
Hierin is:
•U(n) = de term op rangnummer n
•a = de richtingscoëfficiënt (het verschil tussen opeenvolgende termen)
•n = het rangnummer van de term
•U(0) = de term op rangnummer 0 (het startgetal)
Soms wordt de notatie U(n) = a * n + U(0) ook geschreven als U(n) tussen haakjes, U(n) = a * n + U(0). Beide notaties, de U met kleine n eronder of de haakjesnotatie, worden door elkaar gebruikt en betekenen hetzelfde.
Voorbeeldberekening rekenkundige rij:
Stel de directe formule op en bereken U(82) voor de rij met de recursieve formule: U(n) = U(n-1) + 2,6 en U(0) = 25.
1.Identificeer het type rij: er wordt steeds 2,6 bij opgeteld, dus het is een rekenkundige rij.
2.Identificeer de richtingscoëfficiënt (a): dit is 2,6.
3.Identificeer het startgetal (U(0)): dit is 25, omdat U(0) gegeven is.
4.Stel de directe formule op: U(n) = 2,6n + 25
5.Bereken U(82): Vul n = 82 in de directe formule in. U(82) = 2,6 * 82 + 25 = 213,2 + 25 = 238,2
Hoe stel je een directe formule op voor een meetkundige rij?
Een meetkundige rij is een rij waarbij steeds met hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd om de volgende term te krijgen. Grafisch gezien correspondeert een meetkundige rij met een exponentieel verband, wat geen rechte lijn is.
De algemene vorm van een exponentieel verband is Y = b * g^X, waarbij 'b' de beginhoeveelheid is en 'g' de groeifactor. Bij een meetkundige rij wordt de groeifactor ook wel de reden genoemd. De beginhoeveelheid voor een rij is de waarde van de term op positie 0 (U(0)), wat overeenkomt met het snijpunt met de Y-as.
De directe formule voor een meetkundige rij is: U(n) = U(0) * r^n
Hierin is:
•U(n) = de term op rangnummer n
•U(0) = de term op rangnummer 0 (de beginhoeveelheid)
•r = de reden (de groeifactor waarmee vermenigvuldigd wordt)
•n = het rangnummer van de term
Voorbeeldberekening meetkundige rij:
Stel de directe formule op en bereken U(78) voor de rij met de recursieve formule: U(n) = U(n-1) * 1,06 en U(0) = 12,5.
1.Identificeer het type rij: er wordt steeds met 1,06 vermenigvuldigd, dus het is een meetkundige rij.
2.Identificeer de reden (r): dit is 1,06.
3.Identificeer de beginhoeveelheid (U(0)): dit is 12,5, omdat U(0) gegeven is.
4.Stel de directe formule op: U(n) = 12,5 * 1,06^n
5.Bereken U(78): Vul n = 78 in de directe formule in. U(78) = 12,5 * 1,06^78 U(78) = 12,5 * 94,15806... U(78) = 1176,9757... Afgerond op twee decimalen: 1176,98
Hoe ga je om met U(1) als startwaarde bij een directe formule?
Bij het opstellen van een directe formule wordt vaak de waarde van U(0) gebruikt als startgetal of beginhoeveelheid. U(0) representeert het snijpunt met de Y-as en past bij de standaardformules voor lineaire en exponentiële verbanden.
Soms wordt echter de eerste term U(1) gegeven als startterm. De startvraag in deze les gebruikte U(1) = 4 voor een meetkundige rij met reden 3. De recursieve formule was U(n) = 3 * U(n-1).
Er zijn twee manieren om hiermee om te gaan:
1.Terugrekenen naar U(0): Reken U(0) uit vanuit U(1). Aangezien U(1) = 3 * U(0), is U(0) = U(1) / 3 = 4 / 3. De directe formule wordt dan U(n) = (4/3) * 3^n. Om de tiende term (U(10)) te vinden, vul je n=10 in: U(10) = (4/3) * 3^10.
2.Aanpassen van het rangnummer (n): Gebruik U(1) direct in de formule, maar pas de betekenis van 'n' aan. Als je de formule U(n) = 4 * 3^n gebruikt en U(1) (de eerste term van de oorspronkelijke rij) hierin als U(0) beschouwt (4 * 3^0 = 4), dan geldt:
1.De eerste term van de rij (U(1)) komt overeen met n=0 in de directe formule.
2.De tweede term van de rij (U(2)) komt overeen met n=1 in de directe formule.
3.De tiende term van de rij (U(10)) komt overeen met n=9 in de directe formule.
