Grenswaarden en asymptoten

Leerdoelen

•Je kunt voor een gegeven functie bepalen of deze een randpunt heeft en de coördinaten ervan berekenen.

•Je kunt voor een gegeven functie bepalen of deze asymptoten heeft en de vergelijking ervan berekenen.

Randpunten

Bijvoorbeeld, bij een wortelverbandy=a\sqrt{b(x-c)}y=a\sqrt{b(x-c)}+y=a\sqrt{b(x-c)}+dy=a\sqrt{b(x-c)}+y = a\sqrt{b(x-c)}, kun je een randpunt vinden. De x-waarde van het randpunt vind je doorb\left(x-c\right)\left(x-c\right)\left(x-c\right)gelijk te stellen aan 0. De uitdrukking onder het wortelteken moet groter of gelijk zijn aan 0. Het randpunt is het punt waar de uitdrukking onder het wortelteken precies 0 is. De y-waarde van het randpunt is de functiewaarde die je krijgt als je de gevonden waarde van x invult.

Machtsverbanden

Een voorbeeld is het machtsverband. Laten we zeggeny=ax^{b}y=ax. We kunnen allerlei andere verbanden omzetten naar machtsverbanden. Neem bijvoorbeeld het wortelverband, waarbijy=\sqrt{x}y\sqrt{x}\sqrt{x}. Dat kun je ook schrijven alsy=x^{0{,}5}y=x^{05}y=x^{0.5}y=x^{05}y=x^{0{,}5}y=x^{0{,}}y=x^0y=x^0,y=x^0,5y=x^0,y=x^0y=xy=x0y=x0,.

In een dergelijk geval moet x groter of gelijk aan 0 zijn en y groter of gelijk aan 0. Hier begint de grafiek bij\left(0,0\right)\left(0,0\right), dat dan een randpunt is. Dit is goed te zien in onderstaande afbeelding.

Asymptoten

Bij een formule zoalsy=\frac{a}{b(x-c)}+dy=\frac{a}{b(x-c)}+y=\frac{a}{b(x-c)}y=\frac{}{b(x-c)}y=\large=\frac{}{b(x-c)}y=\large==\frac{}{b(x-c)}y=\large=\frac{}{b(x-c)}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}\frac{a}{b(x-c)}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y=\large{\frac{a}{b(x-c)}}y = \large{\frac{a}{b(x-c)}}, kun je de verticale asymptoot vinden door te kijken naar wanneer de noemer 0 wordt - want de noemer mag niet 0 zijn. Dus, als je de x-waarde vindt die de noemer 0 maakt, dan heb je de x-waarde voor de verticale asymptoot.

Voor de horizontale asymptoot kies je een erg hoge of erg lage waarde voor x om te zien welke y-waarde de functie nadert als x naar oneindig of min oneindig gaat. De y-waarde die de functie nadert, is de vergelijking van de horizontale asymptoot.

Gebroken verbanden

Daarnaast is er ook het gebroken verband, zoals. Dit kan ook worden geschreven als y=x^{-1}y=x^{-}y=xy=x-, wat resulteert in een hyperbool. In dit geval kan x niet 0 zijn, omdat we dan door 0 zouden delen, en dat is niet toegestaan. De waarde van y kan ook niet 0 zijn. Dit kan alleen als de teller van de breuk 0 is en dat is hier niet het geval. Hier krijg je dus openy=0=0asymptoten. De verticale asymptoot krijg je bijen de horizontale asymptoot bij.

Exponentieel verband

Verder hebben we het exponentieel verband. Als het grondtal in een exponentieel verband groter is dan 1, zoals iny=2^{x}y=2, krijg je helemaal naar min oneindig toe een horizontale asymptoot. Maar als het grondtal

tussen de 0 en 1 in ligt, zoals bijvoorbeeld, dan beweegt de grafiek steeds verder naar 0 zonder deze ooit te bereiken, waardoor een horizontale asymptoot ontstaat.

Berekenen van asymptoten

Verticale asymptoten

De verticale asymptoot van een functie y = \frac{a}{b(x-c)}+d\frac{a}{b(x-c))}+d\frac{a}{b(x-c))}+\frac{a}{b(x-c))}+D\frac{a}{b(x-c))}+\frac{a}{b(x-c))}\frac{a}{\placeholder{}}\frac{a}{\placeholder{}}b(x-c))ab(x-c))a/b(x-c)) wordt gevonden door de noemer gelijk te stellen aan nul. Dit geeft de x-waarde van de asymptoot: x = c.

Horizontale asymptoten

De horizontale asymptoot wordt bepaald door de limiet van de functie te nemen als x naar oneindig gaat. Voor een functie zoals y = \frac{3}{\left(2x-8\right)}+5\frac{3}{\left(2x-8\right)}(+5\frac{3}{\left(2x-8\right)}(2+5\frac{3}{\left(2x-8\right)}(2x+5\frac{3}{\left(2x-8\right)}(2x-+5\frac{3}{\left(2x-8\right)}(2x-8+5\frac{3}{\left(2x-8\right)}(2x-8)+5\frac{3}{\left(2x-\right)}(2x-8)+5\frac{3}{\left(2x\right)}(2x-8)+5\frac{3}{\left(2\right)}(2x-8)+5\frac{3}{\left(\placeholder{}\right)}(2x-8)+5\frac{3}{\placeholder{}}(2x-8)+53(2x-8)+5, als x heel groot wordt, nadert de functie y = 5.

Randpunten

Berekenen van randpunten

Bij een wortelverband zoals y = a\sqrt{(b(x-c))}a\sqrt{\placeholder{}}a\sqrt{\placeholder{}}(b(x-c))a(b(x-c)), vind je het randpunt door de uitdrukking onder de wortel gelijk te stellen aan nul. De x-waarde van het randpunt is x = c. De y-waarde wordt berekend door deze x-waarde in de functie in te vullen.

Voorbeeld:

f(x) = \sqrt{(3x+15)}+3\sqrt{\placeholder{}}+3+3\surd+3

Randpunt: x = -5, y = 3

Voorbeelden van asymptoten en randpunten

Voorbeeld 1: Verticale en horizontale asymptoten

y = \frac{3x+4}{(2x^2-18)}+105\frac{3x+}{(2x^2-18)}+105\frac{3x}{(2x^2-18)}+105\frac{3x=}{(2x^2-18)}+105\frac{3x}{(2x^2-18)}+105\frac{3x}{\placeholder{}}+105\frac{3x}{\placeholder{}}(2x^2-18)+1053x(2x^2-18)+1053(2x^2-18)+1053x(2x^2-18)+1053x+(2x^2-18)+1053x+4(2x^2-18)+1053x+\frac{4}{\placeholder{}}(2x^2-18)+1053x+4(2x^2-18)+105

Verticale asymptoten: x = 3 en x = -3

Horizontale asymptoot: y = 105

Voorbeeld 2: Randpunt

g(x) =

Randpunt: x = -1, y = 7