Bas Koster
Differentiëren
Logaritmen
regel | voorwaarde |
${ }^{g} \log (a)+{ }^{g} \log (b)={ }^{g} \log (a b) | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0 |
${ }^{g} \log (a)-{ }^{g} \log (b)={ }^{g} \log (\frac{a}{b}) | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0 |
${ }^{g} \log (a^{p})=p \cdot{ }^{g} \log (a) | $g>0, g \neq 1, a>0 |
${ }^{g} \log (a)=\frac{{ }^{p} \log (a)}{{ }^{p} \log (g)} | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1 |
In deze opgave bekijken we de (gemiddelde) lengte van Nederlandse jongens tot 21 jaar. Met 'lengte' wordt in de hele opgave de gemiddelde lengte bedoeld.
We gebruiken in deze opgave een veelgebruikt model uit de kindergeneeskunde, het zogenaamde KKP-model. In dit model bestaat de lengte uit drie componenten$L_{1}, L_{2}en$L_{3}. Bij elkaar opgeteld geven deze drie componenten de lengte van Nederlandse jongens. In figuur 1 staan de drie componenten$L_{1}, L_{2}en$L_{3}en is ook de som van de drie getekend.
In het eerste half jaar is de bijdrage van de componenten$L_{2}en$L_{3}voor de lengte verwaarloosbaar en is$L_{1}alleen een goede benadering voor de lengte. De formule voor$L_{1}is:L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }wL_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in weken}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in weke}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in wek}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in we}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in w}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in weken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash weken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash bweken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash boweken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash bweken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash weken }L_{1}=76,4-19,4 \cdot 0,9704^{w} \text { met } L_{1} \text { in cm en } w \text { de leeftijd in weken }de leeftijd in weken
Na het eerste halfjaar is de bijdrage van de component$L_{2}niet meer te verwaarlozen. De formule voor$L_{2}is:L_2=-0,235t^2+9,5t-4,7\text{ met }L_2\text{ in cm en }tL_{2}=-0,235 t^{2}+9,5 t-4,7 \text { met } L_{2} \text { in cm en } t \text { de leeftijd in jaren }de leeftijd in jaren
Deze formule speelt verderop in deze opgave nog een rol.
De component$L_{3}is de extra lengte als gevolg van de groeispurt die jongens in de pubertijd ondergaan. De formule voor$L_{3}is:
L_3=\frac{16,1}{1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t}}\text{ met }L_3\text{ in cm en }tL_3=\frac{16,1}{1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t}}\text{ met }L_3\text{ in cm en }t\text{ }L_{3}=\frac{16,1}{1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t}} \text { met } L_{3} \text { in cm en } t \text { de leeftijd in jaren }de leeftijd in jaren
Voor de afgeleide van$L_{3}geldt:
L_{3}^{\prime}=\frac{19,32 \cdot \mathrm{e}^{16,4-1,2 t}}{(1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t})^{2}}
Met behulp van de afgeleide van$L_{3}kun je op elk moment in de pubertijd berekenen hoe groot de extra groeisnelheid als gevolg van die groeispurt is.
Bereken met behulp van die afgeleide hoe groot de extra groeisnelheid in cm/jaar maximaal is. Geef je antwoord in één decimaal.
Op deze pagina behandelen we vraag 9 van het centraal examen wiskunde A vwo 2019 – tijdvak 2. Deze vraag is onderdeel van Lengtegroei bij jongens, en is 3 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
