Bas Koster
Differentiëren
Logaritmen
regel | voorwaarde |
${ }^{g} \log (a)+{ }^{g} \log (b)={ }^{g} \log (a b) | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0 |
${ }^{g} \log (a)-{ }^{g} \log (b)={ }^{g} \log (\frac{a}{b}) | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0 |
${ }^{g} \log (a^{p})=p \cdot{ }^{g} \log (a) | $g>0, g \neq 1, a>0 |
${ }^{g} \log (a)=\frac{{ }^{p} \log (a)}{{ }^{p} \log (g)} | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1 |
In deze opgave bekijken we de (gemiddelde) lengte van Nederlandse jongens tot 21 jaar. Met 'lengte' wordt in de hele opgave de gemiddelde lengte bedoeld.
We gebruiken in deze opgave een veelgebruikt model uit de kindergeneeskunde, het zogenaamde KKP-model. In dit model bestaat de lengte uit drie componenten$L_{1}, L_{2}en$L_{3}. Bij elkaar opgeteld geven deze drie componenten de lengte van Nederlandse jongens. In figuur 1 staan de drie componenten$L_{1}, L_{2}en$L_{3}en is ook de som van de drie getekend.
In het eerste half jaar is de bijdrage van de componenten$L_{2}en$L_{3}voor de lengte verwaarloosbaar en is$L_{1}alleen een goede benadering voor de lengte. De formule voor$L_{1}is:L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }wL_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in weken}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in weke}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in wek}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in we}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in w}L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in weken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash weken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash bweken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash boweken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash bweken }L_1=76,4-19,4\cdot0,9704^{w}\text{ met }L_1\text{ in cm en }w\text{ de leeftijd in \textbackslash weken }L_{1}=76,4-19,4 \cdot 0,9704^{w} \text { met } L_{1} \text { in cm en } w \text { de leeftijd in weken }de leeftijd in weken
Na het eerste halfjaar is de bijdrage van de component$L_{2}niet meer te verwaarlozen. De formule voor$L_{2}is:L_2=-0,235t^2+9,5t-4,7\text{ met }L_2\text{ in cm en }tL_{2}=-0,235 t^{2}+9,5 t-4,7 \text { met } L_{2} \text { in cm en } t \text { de leeftijd in jaren }de leeftijd in jaren
Deze formule speelt verderop in deze opgave nog een rol.
De component$L_{3}is de extra lengte als gevolg van de groeispurt die jongens in de pubertijd ondergaan. De formule voor$L_{3}is:
L_3=\frac{16,1}{1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t}}\text{ met }L_3\text{ in cm en }tL_3=\frac{16,1}{1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t}}\text{ met }L_3\text{ in cm en }t\text{ }L_{3}=\frac{16,1}{1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t}} \text { met } L_{3} \text { in cm en } t \text { de leeftijd in jaren }de leeftijd in jaren
Voor de afgeleide van$L_{3}geldt:
L_{3}^{\prime}=\frac{19,32 \cdot \mathrm{e}^{16,4-1,2 t}}{(1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t})^{2}}
De som van$L_{1}, L_{2}en$L_{3}levert de lengte$Lvan een jongen.$Lkan met de volgende formule beschreven worden:
L=-19,4 \cdot 0,2096^{t}-0,235 t^{2}+9,5 t+71,7+\frac{16,1}{1+\mathrm{e}^{16,4-1,2 t}}
Hierbij is$Lin cm en$tde leeftijd in jaren.
Laat zien hoe deze formule met behulp van de drie genoemde componenten kan worden opgesteld.
Op deze pagina behandelen we vraag 10 van het centraal examen wiskunde A vwo 2019 – tijdvak 2. Deze vraag is onderdeel van Lengtegroei bij jongens, en is 4 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
