Verbanden

Leerdoelen

•Je kunt effectief werken met diagrammen.

•Je kunt een nauwkeurig diagram tekenen op basis van meetgegevens.

•Je kunt de begrippen interpoleren en extrapoleren toepassen om waarden af te lezen.

•Je kunt de steilheid van een kromme bepalen op elk willekeurig punt met behulp van een raaklijn.

•Je kunt de eigenschappen en grafiekvormen van vier verschillende verbanden herkennen en beschrijven:

1.Een recht evenredig verband.

2.Een omgekeerd evenredig verband.

3.Een kwadratisch evenredig verband.

4.Een omgekeerd kwadratisch evenredig verband.

Werken met metingen en tabellen

In de natuurkunde begin je vaak met het doen van metingen. Deze metingen orden je vervolgens in een tabel om ze overzichtelijk te maken en er later een diagram van te kunnen maken.

De structuur van een tabel

Een tabel heeft een standaardstructuur voor natuurkundige metingen:

Kolom 1: De onafhankelijke grootheid. Dit is de grootheid die jij zelf beïnvloedt of verandert in je experiment. De waarden hiervan lopen vaak stapsgewijs op.

De titel van deze kolom bestaat uit de naam van de grootheid, gevolgd door de eenheid tussen haakjes. Bijvoorbeeld: Kracht (N) of Tijd (s).

Kolom 2: De afhankelijke grootheid. Dit is de grootheid die je meet en waarvan de waarde afhangt van de onafhankelijke grootheid.

Ook hier geldt dat de titel bestaat uit de grootheid en de eenheid tussen haakjes. Bijvoorbeeld: Uitrekking (cm) of Plaats (m).

Meetwaarden: de getallen in de kolommen zijn de gemeten waarden. Hierbij vermeld je geen eenheden, want die staan al in de kolomkop. Dit voorkomt dat je tabel onoverzichtelijk wordt.

Nauwkeurigheid: zorg ervoor dat alle meetwaarden in de tabel hetzelfde aantal cijfers achter de komma hebben.

In dit voorbeeld is de kracht de onafhankelijke grootheid, omdat deze in stappen van 0,5 N wordt verhoogd. De uitrekking is de afhankelijke grootheid, waarvan de waarde afhangt van de toegepaste kracht.

Van tabel naar diagram

Nadat de metingen in een tabel zijn gezet, maak je er een diagram van. Dit helpt om het verband tussen de grootheden visueel te maken.

De assen correct uitzetten

X-as (horizontale as): hierop zet je de onafhankelijke grootheid uit (de grootheid die je beïnvloedt).

Y-as (verticale as): hierop zet je de afhankelijke grootheid uit (de grootheid die je meet).

Eerst wordt de grootheid op de y-as genoemd, daarna die op de x-as. Uitrekking (U) tegen kracht (F) is een U-F-diagram.

Grafieklijn tekenen

Nadat de meetpunten in het diagram zijn gezet, wordt een grafieklijn getekend. Deze lijn verbindt de metingen zo goed mogelijk. Met een geo-driehoek kan worden gecontroleerd of alle punten met een rechte lijn te verbinden zijn. Als niet alle punten op één rechte lijn liggen (door meetfouten of spreiding), wordt een gemiddelde lijn getekend. Hierbij liggen ongeveer evenveel punten boven als onder de lijn.

Interpoleren en extrapoleren

Wanneer de grafieklijn is getekend, kunnen er waarden uit worden afgelezen die niet direct meet:

Interpoleren: dit betekent dat je een waarde afleest binnen het bereik van je gemeten punten. Bijvoorbeeld, in het U-F-diagram: als je bij 0,8 N een uitrekking van 13 cm afleest, hoewel je 0,8 N niet hebt gemeten, ben je aan het interpoleren.

Extrapoleren: dit betekent dat je een waarde afleest buiten het bereik van je gemeten punten. Je verlengt de grafieklijn dan voorbij je laatste meetpunt om een voorspelling te doen. Dit is vaak minder nauwkeurig dan interpoleren, omdat je niet zeker weet of het verband buiten je meetbereik hetzelfde blijft.

De steilheid van een kromme bepalen

Soms is de grafieklijn geen rechte lijn, maar een kromme. Je moet de steilheid van zo'n kromme op elk punt kunnen bepalen. De steilheid van een grafiek zegt iets over de verandering van de afhankelijke grootheid ten opzichte van de onafhankelijke grootheid.

Een raaklijn tekenen

Om de steilheid van een kromme op een specifiek punt te bepalen, teken je een raaklijn aan die kromme in dat punt.

Plaats je potlood precies op het punt in de grafiek waar je de steilheid wilt bepalen.

Draai je geo-driehoek totdat de rand precies de kromme raakt op alleen dat ene punt.

Trek een mooie, lange, rechte lijn langs de geo-driehoek. Dit is je raaklijn.

De steilheid berekenen

De steilheid van de raaklijn (en daarmee van de kromme op dat punt) wordt berekend door het verschil in de y-coördinaten (Δy of dY) te delen door het verschil in de x-coördinaten (Δx of dX) van twee willekeurige punten op de getekende raaklijn. In een X-T-diagram (plaats tegen tijd) stelt de steilheid de snelheid (V) voor, want de algemene formule voor snelheid is V = ∆x / ∆t.

De vier belangrijkste verbanden

In de natuurkunde kom je vaak vier belangrijke verbanden tegen. Elk verband heeft een eigen wiskundige formule en een kenmerkende grafiekvorm. Hierbij is 'A' telkens een constante.

Recht evenredig verband

Formule: Y = A * X

Eigenschap: wordt X N keer zo groot, dan wordt Y ook N keer zo groot.

Grafiekvorm: een rechte lijn door de oorsprong (0,0).

Rekenvoorbeeld: In een v-t-diagram van een beweging met constante versnelling, geldt V = A * T (waarbij A de versnelling is). Laten we controleren:

•Als T van 1 seconde naar 2 seconden gaat (dus T wordt 2 keer zo groot).

•De V gaat dan van 10 m/s naar 20 m/s (dus V wordt ook 2 keer zo groot). Dit bevestigt het recht evenredig verband.

Omgekeerd evenredig verband

Formule: Y = A * (1/X) of Y = A / X

Eigenschap: wordt X N keer zo groot, dan wordt Y N keer zo klein.

Grafiekvorm: een kromme die snel daalt en asymptotisch naar de assen nadert (een hyperbool).

Rekenvoorbeeld: de sterkte (S) van een lens in dioptrie is omgekeerd evenredig met de brandpuntsafstand (F). S = A / F. Laten we controleren met waarden uit de grafiek:

•Neem F = 0,2 meter, dan is S = 5 dioptrie.

•Neem F = 0,4 meter (F wordt 2 keer zo groot).

•Dan is S = 2,5 dioptrie (S wordt 2 keer zo klein). Dit bevestigt het omgekeerd evenredige verband.

Kwadratisch evenredig verband

Formule: Y = A * X²

Eigenschap: wordt X N keer zo groot, dan wordt Y N² keer zo groot.

Grafiekvorm: een kromme die steeds sneller stijgt (een parabool).

Rekenvoorbeeld: De afstand (S) die een object aflegt bij constante versnelling (a) vanaf stilstand is kwadratisch evenredig met de tijd (T): S = ½ * A * T². Laten we controleren:

•Als T van 1 seconde naar 2 seconden gaat (dus T wordt 2 keer zo groot).

•Dan gaat S van 5 meter naar 20 meter (S wordt 4 keer zo groot).

•Dit klopt, want T wordt 2 keer zo groot, en 2² = 4. De afstand wordt dus 4 keer zo groot. Dit bevestigt het kwadratisch evenredig verband.

Omgekeerd kwadratisch evenredig verband

Formule: Y = A * (1/X²) of Y = A / X²

Eigenschap: wordt X N keer zo groot, dan wordt Y N² keer zo klein.

Grafiekvorm: een kromme die zeer snel daalt en asymptotisch naar de assen nadert. Deze lijkt op het omgekeerd evenredig verband, maar de daling is veel steiler.

Rekenvoorbeeld: de druk (P) die een stoelpoot uitoefent op de vloer is afhankelijk van de kracht (F) en de oppervlakte (A) van de poot: P = F / A. Als de poot rond is, is A = πR² (waarbij R de straal is). Als de kracht F constant is en we veranderen alleen de straal R, dan is P evenredig met 1/R². Laten we controleren:

•Als de straal (R) van 1 eenheid naar 2 eenheden gaat (R wordt 2 keer zo groot).

•Dan gaat de druk (P) van 1000 eenheden naar 250 eenheden (P wordt 4 keer zo klein).

•Dit klopt, want R wordt 2 keer zo groot, en 2² = 4. De druk wordt dus 4 keer zo klein. Dit bevestigt het omgekeerd kwadratisch evenredige verband.