Staande golven

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat staande golven zijn.

•Je kunt uitleggen wat buiken en knopen zijn en kunt ze benoemen in een golfpatroon.

•Je kunt uitleggen wat grondtonen en boventonen zijn.

•Je kunt uitleggen hoe staande golven ontstaan bij snaarinstrumenten.

•Je kunt uitleggen hoe staande golven ontstaan bij blaasinstrumenten.

Superpositie van golven

In de natuurkunde betekent superpositie simpelweg het optellen van twee of meerdere golven. Je kunt dit visualiseren door te kijken naar golven die elk hun eigen amplitude (maximale uitwijking) en trillingstijd (tijd voor één volledige trilling) hebben. Wanneer deze golven samenkomen, vormen ze een nieuwe golf die de eigenschappen van alle afzonderlijke golven in zich draagt.

Ons oor ervaart constant een superpositie van diverse tonen, en onze hersenen zijn verrassend goed in staat om deze afzonderlijke tonen te "ontrafelen".

Staande golven: het ontstaan

Een staande golf is een bijzonder fenomeen dat ontstaat wanneer een golf weerkaatst wordt en de heengaande en teruggaande golf elkaar ontmoeten. Dit is een vorm van superpositie die resulteert in interferentie, waarbij golven elkaar op sommige plaatsen versterken en op andere plaatsen verzwakken. Stel je een koord voor dat aan één kant vastzit. Wanneer een golf door dit koord beweegt en het vaste punt bereikt, wordt deze golf weerkaatst. Net zoals een spiegel licht terugkaatst, kaatst het vaste punt de golf terug, maar met een omgekeerde fase: een golfberg wordt teruggekaatst als een golfdal, en vice versa. In tegenstelling tot lopende golven, die zich door een medium verplaatsen, lijkt een staande golf 'stil' te staan. Het is een patroon van maximale en minimale trillingen tussen twee uiteinden, die zowel vast als open kunnen zijn.

Fase en faseverschil

Om staande golven goed te begrijpen, is het concept van fase belangrijk. Elk punt van een trilling heeft een bepaalde fase, die aangeeft in welke stadium van zijn cyclus de trilling zich bevindt. Een volledige trilling loopt van fase nul tot één. Als je naar meerdere trillingen achter elkaar kijkt, loopt de fase door: 0 tot 1, dan 1 tot 2, 2 tot 3, enzovoort. Fase heeft geen eenheid en geeft aan hoeveel trillingen zijn uitgevoerd vanaf een bepaald tijdstip (meestal t=0). Als bijvoorbeeld op t=4 seconden 3,25 trillingen zijn geweest, is de fase 3,25. Wanneer je twee momenten of twee verschillende golven met elkaar vergelijkt, spreek je over een faseverschil (Δϕ'). Vergelijk je bijvoorbeeld twee toppen van een golf, dan is het faseverschil een geheel getal (1, 2, 3...). Vergelijk je echter een top en een dal, dan is het faseverschil 0,5 (of 1,5; 2,5; enzovoort).

Constructieve en destructieve interferentie: buiken en knopen

Interferentie kan op twee manieren plaatsvinden:

1.Constructieve interferentie: Dit gebeurt wanneer twee golven elkaar versterken. De golven zijn dan 'in fase', wat betekent dat het faseverschil tussen de golven een geheel getal is (0, 1, 2,...). Denk aan twee golfbergen die samenkomen, of twee golfdalen. Het resultaat is een grotere uitwijking, en bij geluid betekent dit een harder geluid. In een staande golf noemen we de punten van maximale uitwijking de buiken.

2. Destructieve interferentie: Dit is het tegenovergestelde; de golven heffen elkaar (gedeeltelijk) op. Dit gebeurt wanneer de golven 'in tegenfase' zijn, wat betekent dat het faseverschil een half geheel getal is (0,5; 1,5; 2,5;...). Denk aan een golfberg die samenkomt met een golfdal. Het resultaat is een kleinere, of zelfs geen uitwijking. Bij geluid hoor je dan een zachter geluid of helemaal niets. De punten in een staande golf waar geen uitwijking plaatsvindt, noemen we de knopen.

Het begrijpen van deze twee typen interferentie en de relatie met faseverschil is cruciaal voor het doorgronden van staande golven, met name de plekken waar buiken en knopen ontstaan.

Staande golven bij snaarinstrumenten

Bij snaarinstrumenten zoals een gitaar of viool is een snaar aan twee uiteinden vastgeklemd. Deze vaste punten zijn altijd knopen omdat de snaar daar niet kan bewegen. Tussen deze knopen ontstaan één of meerdere buiken, waar de snaar maximaal trilt. Deze trillingen brengen de omliggende luchtkolom in resonantie, waardoor een hoorbaar geluid ontstaat.

Grondtoon en boventonen

Een snaar kan op verschillende manieren trillen, wat leidt tot verschillende tonen:

•Grondtoon (n=1): Dit is de laagste en vaak luidste toon die een snaar kan produceren. De snaar trilt met één buik in het midden en knopen aan de uiteinden. De lengte (L) van de snaar komt dan overeen met een halve golflengte (\frac{\lambda}{2}). De bijbehorende frequentie noemen we de grondfrequentie (f_1).

•Eerste boventoon (n=2): Hierbij ontstaat een extra knoop in het midden van de snaar, waardoor je drie knopen en twee buiken krijgt. De snaarlengte (L) is nu gelijk aan één hele golflengte (λ). De frequentie (f_2) is tweemaal de grondfrequentie (f_2=2\cdot f_1).

•Tweede boventoon (n=3): Nu zijn er vier knopen en drie buiken. De snaarlengte (L) is gelijk aan anderhalve golflengte (1,5λ). De frequentie (f_3) is driemaal de grondfrequentie (f_3=3\cdot f_1).

Algemene formule voor snaarinstrumenten

De relatie tussen de lengte van de snaar (L), het harmonische nummer (n) en de golflengte (λ) kan worden uitgedrukt met de volgende formule: L=n\cdot(\frac12)\cdot\lambda Hierin staat 'n' voor het harmonische nummer: n=1 voor de grondtoon, n=2 voor de eerste boventoon, n=3 voor de tweede boventoon, enzovoort. Een snaar kan tegelijkertijd meerdere eigen trillingen uitvoeren, waardoor je naast de grondtoon ook boventonen hoort. Dit draagt bij aan de klankkleur van een instrument.

Staande golven bij blaasinstrumenten

Bij blaasinstrumenten wordt een kolom lucht in trilling gebracht. De temperatuur van de lucht speelt hierbij een rol, aangezien deze de geluidssnelheid en daarmee de uiteindelijke toonhoogte beïnvloedt. In tegenstelling tot snaarinstrumenten kunnen de uiteinden van de luchtkolom zowel open als gesloten zijn, wat invloed heeft op waar buiken en knopen ontstaan:

•Buiken ontstaan bij open uiteinden (waar lucht vrij kan bewegen) en bij mondstukken (waar de mond van de muzikant een maximale trilling creëert).

•Knopen ontstaan bij gesloten uiteinden (waar lucht niet kan bewegen, bijvoorbeeld de onderkant van een panfluit) of bij een rietje (zoals bij een klarinet, dat functioneert als een vast punt).

Verschillende situaties

De toonvorming hangt af van de configuratie van de luchtbuis:

1. Open-open situatie

Dit geldt voor instrumenten met twee open uiteinden (bijvoorbeeld een dwarsfluit). De uiteinden zijn hierdoor altijd buiken. In het midden ontstaat voor de grondtoon een knoop.

•Grondtoon (n=1): De luchtkolom trilt met buiken aan beide uiteinden en één knoop in het midden. De lengte (L) van de buis komt overeen met een halve golflengte (\frac{\lambda}{2}).

•Boventonen: De boventonen volgen hetzelfde patroon als bij snaarinstrumenten.

•Eerste boventoon (n=2): Drie buiken, twee knopen; L = λ.

•Tweede boventoon (n=3): Vier buiken, drie knopen; L = 1,5λ.

•Algemene formule: De formule is gelijk aan die van snaarinstrumenten: L=n\cdot(\frac12)\cdot\lambda

2. Open-gesloten situatie

Dit geldt voor instrumenten met één open en één gesloten uiteinde (bijvoorbeeld een panfluit). Het open uiteinde is een buik, en het gesloten uiteinde is een knoop.

•Grondtoon (n=1): De luchtkolom heeft een buik aan het open uiteinde en een knoop aan het gesloten uiteinde. De lengte (L) van de buis komt dan overeen met slechts een kwart golflengte (\frac{\lambda}{4}).

•Boventonen: Bij een open-gesloten buis ontstaan alleen oneven boventonen (de 3e harmonische, 5e harmonische, enzovoort).

•Eerste boventoon (n=2): De lengte (L) is dan driekwart golflengte (\frac{3\lambda}{4}).

•Tweede boventoon (n=3): De lengte (L) is dan vijfkwart golflengte (\frac{5\lambda}{4}).

•Algemene formule: Voor deze situatie geldt: L=(2n-1)\cdot(\frac14)\cdot\lambda Hierin is 'n' het harmonische nummer (n=1voor de grondtoon, n=2 voor de eerste boventoon, etc.).

Interferentie bij twee geluidsbronnen

Interferentie is niet alleen van toepassing op de heengaande en teruggaande golven die staande golven vormen. Het treedt ook op wanneer de golven van twee afzonderlijke geluidsbronnen elkaar ontmoeten en optellen (superpositie). Stel je twee puntbronnen voor die geluidsgolven uitzenden. De golven verspreiden zich in cirkels. Wanneer de golven elkaar kruisen:

•Waar twee pieken of twee dalen elkaar ontmoeten, vindt constructieve interferentie plaats. Het geluid wordt versterkt. Dit zijn plekken waar je een hard geluid hoort.

•Waar een piek en een dal elkaar ontmoeten, vindt destructieve interferentie plaats. De golven heffen elkaar op, en je hoort geen geluid (een 'stille plek'). [Afbeelding: Twee paarse stippen als geluidsbronnen, met concentrische cirkels van stippellijnen (dalen) en doorgetrokken lijnen (pieken). Groene lijnen zijn getrokken door de kruispunten van twee stippellijnen of twee doorgetrokken lijnen (constructieve interferentie). Er zijn ook gebieden waar stippellijnen en doorgetrokken lijnen elkaar kruisen (destructieve interferentie).] Zo beïnvloeden twee geluidsbronnen naast elkaar elkaar, waarbij de superpositie van hun tonen leidt tot versterking of verzwakking van het geluid.