Gravitatie-energie

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat gravitatie-energie is.

•Je kunt rekenen met de formule van gravitatie-energie.

•Je kunt uitleggen wat de verschillen zijn tussen gravitatie-energie en zwaarte-energie.

Wat is gravitatie-energie?

Je weet waarschijnlijk al dat de gravitatiekracht een aantrekkende kracht is die twee massa's naar elkaar toetrekt. Denk bijvoorbeeld aan de aarde en de maan, of de aarde en een satelliet. Om twee massa's die dicht bij elkaar zijn van elkaar te scheiden, bijvoorbeeld tot een oneindige afstand waar ze elkaar niet meer voelen, moet je energie toevoegen. Dit komt omdat ze dan buiten elkaars gravitatieveld zijn.

Gravitatie-energie is de energie die een massa heeft wanneer het zich in het gravitatieveld van een andere massa bevindt. Om deze energie te begrijpen, nemen we een bijzonder uitgangspunt: als de onderlinge afstand tussen twee massa's oneindig is, is de gravitatie-energie nul. Dit is een beetje een gekke schaal, want het betekent dat nul joule de maximale waarde is.

Stel je voor dat een satelliet oneindig ver weg zou zijn van de aarde; dan is de gravitatie-energie nul joule. Maar hoe dichter de massa's bij elkaar zijn, hoe negatiever de energie wordt. Dit klinkt misschien vreemd, maar het is logisch: je moet immers positieve energie toevoegen om ze los te trekken. Als ze dichter bij elkaar komen, leveren ze eigenlijk een beetje van die gravitatie-energie in.

De schaal van gravitatie-energie loopt dus van heel erg negatief (wanneer objecten dicht bij elkaar zijn) tot nul (wanneer ze oneindig ver weg zijn). Een negatief getal betekent dat het systeem gebonden is; de objecten zijn als het ware gevangen in elkaars zwaartekracht. Denk aan een raketlancering: je moet veel energie toevoegen om de raket los te maken van de aarde en de gravitatie-energie minder negatief te maken.

De formule voor gravitatie-energie

Voor het berekenen van gravitatie-energie gebruiken we een specifieke formule. Deze formule geeft de totale gravitatie-energie tussen twee massa's weer, bijvoorbeeld tussen een planeet en een satelliet.

De formule voor gravitatie-energie\left(E_{g}\right)is:

E_{g}=-G\cdot\frac{m\cdot M}{r}E_{g}=-G\cdot\frac{m\cdot M}{}

Hierin zijn:

•: de gravitatie-energie in joule (J).

•: de gravitatieconstante (ongeveer6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2\text{ kg}^{-2}6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}\text{ kg}^{-2}6{,}674\cdot10^{-11}\text{ N m}^{-2}\text{ kg}^{-2}6{,}674\cdot10^{-11}\text{ N m}^{-2}\text{ kg}^26{,}674\cdot10^{-11}\text{ N m}^{-2}\text{ kg}^26{,}674\cdot10^{-11}\text{ N m}^{-2}\text{kg}^26{,}674\cdot10^{-11}\text{ N m}^{-2}/\text{kg}^26{,}674\cdot10^{-11}\text{ N m}^2/\text{kg}^2), die je kunt opzoeken in Binas.

•: de massa van het ene object in kilogram (kg).

•: de massa van het andere object in kilogram (kg).

•: de afstand tussen de zwaartepunten van de twee massa's in meter (m).

Laten we eens nadenken over wat er met de gravitatie-energie gebeurt alsverandert:

•Alsoneindig groot wordt, deel je door een gigantisch getal. De gravitatie-energie wordt dan nul, precies zoals we eerder bespraken.

•Alssteeds kleiner wordt (de massa's komen dichter bij elkaar), wordt de gravitatie-energie steeds meer negatief.

Het is belangrijk om te weten dat het vaak gaat om een verschil in gravitatie-energie. Bijvoorbeeld, hoeveel is de gravitatie-energie veranderd als een satelliet van de aarde wordt gelanceerd en in een baan om de aarde komt? Wanneer je de verandering in gravitatie-energie berekent\Delta E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}E_{g}=E_{g,eind}-E_{g,begin}, is het resultaat positief als een object verder van de massa af beweegt. De energie wordt dan minder negatief. Deze positieve verandering staat gelijk aan de arbeid die verricht moet worden om de afstand te vergroten.

Rekenvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gravitatie-energie van een satelliet

Bereken de gravitatie-energie van een satelliet vankilogram opkilometer hoogte boven de aarde.

Gegevens:

•Massa satellietkg

•Massa aarde(M)=5{,}972\cdot10^{24}(M)=5972\cdot10^{24}kg (opzoeken in Binas)

•Straal aarde(r_{aarde})=6{,}371\cdot10^6(r_{aarde})=6371\cdot10^6m (opzoeken in Binas)

•Hoogte satellietm

•Gravitatieconstante(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2\text{ kg}^{-2}(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}\text{ kg}^{-2}(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}\text{ kg}^2(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}\text{ kg}^2(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}\text{kg}^2(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}/\text{kg}^2(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2(G)=6674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2(opzoeken in Binas)

Berekening van de afstand:

De afstandis de afstand van het middelpunt van de aarde tot het middelpunt van de satelliet.

300\text{ km}=300\cdot10^3\text{ m}300\text{ km}=300\cdot10\text{ m}300\text{ km}=300\cdot1\text{ m}300\text{ km}=300\cdot\text{ m}

r=r_{aarde}+h=6{,}371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6{,}671\cdot10^6\text{ m}r=rR_{aarde}+h=6{,}371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6{,}671\cdot10^6\text{ m}r=R_{aarde}+h=6{,}371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6{,}671\cdot10^6\text{ m}rR=R_{aarde}+h=6{,}371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6{,}671\cdot10^6\text{ m}R=R_{aarde}+h=6{,}371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6{,}671\cdot10^6\text{ m}R=R_{aarde}+h=6{,}371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6671\cdot10^6\text{ m}R=R_{aarde}+h=6{,}371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6,671\cdot10^6\text{ m}R=R_{aarde}+h=6371\cdot10^6\text{ m}+300\cdot10^3\text{ m}=6,671\cdot10^6\text{ m}

Berekening van de gravitatie-energie:

E_{g}=-G\cdot\frac{m\cdot M}{r}E_{g}=-G\cdot\frac{m\cdot M}{Rr}

E_{g}=-(6{,}674\cdot10^{-11})\cdot\frac{500\cdot(5{,}972\cdot10^{24})}{6{,}671\cdot10^6}E_{g}=-(6{,}674\cdot10^{-11})\cdot\frac{500\cdot(5{,}972\cdot10^{24})}{6671\cdot10^6}E_{g}=-(6{,}674\cdot10^{-11})\cdot\frac{500\cdot(5{,}972\cdot10^{24})}{6,671\cdot10^6}E_{g}=-(6{,}674\cdot10^{-11})\cdot\frac{500\cdot(5972\cdot10^{24})}{6,671\cdot10^6}E_{g}=-(6{,}674\cdot10^{-11})\cdot\frac{500 \cdot(5,972 \cdot10^{24})}{6,671 \cdot10^6}E_{g}=-(6674\cdot10^{-11})\cdot\frac{500 \cdot(5,972 \cdot10^{24})}{6,671 \cdot10^6}

E_{g}\approx-2{,}99\cdot10^{10}\text{ J}E_{g}\approx-299\cdot10^{10}\text{ J}

De gravitatie-energie van de satelliet is dus ongeveer-2{,}99\cdot10^{10}-299\cdot10^{10}joule. Dit is een groot negatief getal, wat aangeeft dat de satelliet sterk gebonden is aan de aarde.

Voorbeeld 2: Totale energie van een komeet

Een komeet met een massa vankilogram heeft op een hoogte vankilometer boven het aardoppervlak een snelheid vankilometer per seconde richting de aarde. Wat is de totale energie van de komeet op dat punt?

De totale energie van de komeet is de som van zijn kinetische energie en zijn gravitatie-energie.

Gegevens:

•Massa komeetkg

•Snelheid komeet(v)=40\text{ km/s}=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3(v)=40=40\cdot10^3m/s

•Hoogte komeet(h)=125\text{ km}=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3(h)=125=125\cdot10^3m

•Massa aarde(M)=5{,}972\cdot10^{24}(M)=5972\cdot10^{24}kg

•Straal aardem

•Gravitatieconstante(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2\text{ kg}^{-2}(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}\text{ kg}^{-2}(G)=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^{-2}\text{ kg}^{-2}

Berekening van de afstand:

Berekening van de kinetische energie:

Berekening van de gravitatie-energie:

E_{g}=-G\cdot\frac{m\cdot M}{r}E_{g}=-G\cdot\frac{m\cdot M}{}

E_{g}=-(6{,}674\cdot10^{-11})\cdot\frac{(13\cdot10^3)\cdot(5{,}972\cdot10^{24})}{6{,}496\cdot10^6}E_{g}=-(6674\cdot10^{-11})\cdot\frac{(13\cdot10^3)\cdot(5{,}972\cdot10^{24})}{6{,}496\cdot10^6}E_{g}=-(6,674\cdot10^{-11})\cdot\frac{(13\cdot10^3)\cdot(5{,}972\cdot10^{24})}{6{,}496\cdot10^6}E_{g}=-(6,674\cdot10^{-11})\cdot\frac{(13\cdot10^3)\cdot(5972\cdot10^{24})}{6{,}496\cdot10^6}E_{g}=-(6,674\cdot10^{-11})\cdot\frac{(13\cdot10^3)\cdot(5,972\cdot10^{24})}{6{,}496\cdot10^6}E_{g}=-(6,674\cdot10^{-11})\cdot\frac{(13\cdot10^3)\cdot(5,972\cdot10^{24})}{6496\cdot10^6}

E_{g}\approx-7{,}97\cdot10^{11}\text{ J}E_{g}\approx-797\cdot10^{11}\text{ J}

Berekening van de totale energie:

E_{tot}=E_{kin}+E_{g}=1{,}04\cdot10^{13}\text{ J}+(-7{,}97\cdot10^{11}\text{ J})E_{tot}=E_{kin}+E_{g}=104\cdot10^{13}\text{ J}+(-7{,}97\cdot10^{11}\text{ J})E_{tot}=E_{kin}+E_{g}=1,04\cdot10^{13}\text{ J}+(-7{,}97\cdot10^{11}\text{ J})E_{tot}=E_{kin}+E_{g}=1,04\cdot10^{13}\text{ J}+(-797\cdot10^{11}\text{ J})

E_{tot}=1{,}04\cdot10^{13}\text{ J}-0{,}0797\cdot10^{13}\text{ J}E_{tot}=1{,}04\cdot10^{13}\text{ J}-00797\cdot10^{13}\text{ J}E_{tot}=1{,}04\cdot10^{13}\text{ J}-0,0797\cdot10^{13}\text{ J}E_{tot}=104\cdot10^{13}\text{ J}-0,0797\cdot10^{13}\text{ J}

E_{tot}\approx9{,}6\cdot10^{12}\text{ J}E_{tot}\approx96\cdot10^{12}\text{ J}

De totale energie van de komeet op dat punt is ongeveer9{,}6\cdot10^{12}96\cdot10^{12}joule.

Ellipsvormige banen en energiebehoud

Kometen en satellieten bewegen vaak in ellipsvormige banen rond een centrale massa, zoals een planeet of ster. In zo'n baan is de snelheid van het object niet overal hetzelfde. Dit heeft te maken met de omzetting tussen kinetische energie en gravitatie-energie.

Kijk naar de afbeelding van een ellipsbaan. De centrale massa bevindt zich bij een van de brandpunten (bijvoorbeeld het linker rode punt).

•Punt A is het punt in de baan dat het dichtst bij de centrale massa ligt. Hier is de gravitatie-energie het meest negatief (dus het laagst). Omdat de totale energie behouden blijft, moet de kinetische energie hier maximaal zijn, wat betekent dat de snelheid van het object in punt A maximaal is.

•Punt B is het punt in de baan dat het verst weg ligt van de centrale massa. Hier is de gravitatie-energie het minst negatief (dus het hoogst). Om de totale energie constant te houden, is de kinetische energie hier minimaal, en daarmee is de snelheid van het object in punt B minimaal.

Wanneer het object van punt A naar punt B beweegt, neemt de afstand tot de centrale massa toe. De gravitatie-energie wordt minder negatief (neemt toe), en de kinetische energie (en dus de snelheid) neemt af. Wanneer het object van punt B terug naar punt A beweegt, neemt de afstand af. De gravitatie-energie wordt negatiever (neemt af), en de kinetische energie (en snelheid) neemt toe. Dit is een continu proces van energieomzetting. Volgens de wet van behoud van energie blijft de totale mechanische energie van het object constant, zolang er geen externe krachten zoals wrijving werken.

Gravitatie-energie versus zwaarte-energie

Het is belangrijk om het verschil te begrijpen tussen gravitatie-energie en de zwaarte-energie die je misschien al kent.

De zwaarte-energie\left(E_{z}=m\cdot g\cdot h\right)is eigenlijk een benadering van de universele formule voor gravitatie-energie. Deze benadering is geldig op het aardoppervlak, waar de valversnelling\left(g\right)als constant9{,}81\text{ m/s}^2981\text{ m/s}^2kan worden beschouwd en de hoogte\left(h\right)relatief klein is ten opzichte van de straal van de aarde. Het nulpunt voor zwaarte-energie is het aardoppervlak; als je omhoog gaat, wordt de zwaarte-energie groter (positief).

Het belangrijkste verschil zit dus in het nulpunt:

•Bij gravitatie-energie is het nulpunt oneindig ver weg.

•Bij zwaarte-energie is het nulpunt het aardoppervlak.

In beide gevallen gaat het vaak om een verschil in energie. Hoe verder de massa's van elkaar zijn, hoe groter de gravitatie-energie (minder negatief), wat betekent dat er meer potentiële energie is. Deze massa's kunnen elkaar aantrekken, en als ze dichterbij komen, leveren ze gravitatie-energie in en wordt hun gravitatie-energie omgezet in kinetische energie.

Waarom raak je buiten adem bij het beklimmen van een berg?

Waarom raak je sneller buiten adem als je een rugzak een berg op draagt dan als je gewoon op de vlakke grond loopt? Het antwoord ligt in de energie die je moet leveren. Wanneer je op de vlakke grond loopt, lever je voornamelijk energie om vooruit te bewegen (kinetische energie) en om wrijving te overwinnen. Wanneer je een berg op loopt, moet je niet alleen vooruit bewegen, maar ook omhoog, tegen de zwaartekracht in.

Door omhoog te lopen, verhoog je de potentiële energie (zwaarte-energie of gravitatie-energie) van jezelf en je rugzak. Je lichaam moet extra energie leveren om deze potentiële energie te verhogen. Deze extra energiebehoefte betekent dat je lichaam harder moet werken, meer zuurstof verbruikt en daardoor sneller buiten adem raakt. Je moet dus arbeid verrichten om de potentiële energie van jezelf en je rugzak te verhogen, en deze arbeid wordt geleverd door je spieren, wat extra zuurstof kost.