Ontsnappingssnelheid

Leerdoelen

•Je kunt de formule voor de baansnelheid afleiden.

•Je kunt de formule voor de ontsnappingssnelheid afleiden.

•Je kunt de formule voor de derde wet van Kepler afleiden.

•Je kunt uitleggen wat een geostationaire baan is.

•Je kunt met de derde wet van Kepler de hoogte van een geostationaire baan berekenen.

Overzicht van gravitatieformules

Voordat we de formules gaan afleiden, is het handig om een overzicht te hebben van de belangrijkste formules die bij het onderwerp gravitatie horen. We maken hierbij onderscheid tussen formules die gelden in het heelal (voor planeten en satellieten) en vereenvoudigde formules die vooral op het aardoppervlak worden gebruikt.

De formules zoals de universele gravitatiekracht en gravitatie-energie zijn van toepassing bij berekeningen in het heelal, waar massa's en afstanden heel groot zijn. De formules zoals de zwaartekracht en zwaarte-energie zijn vereenvoudigde weergaves van de eerder genoemde formules en gelden vooral als je rekent op het aardoppervlak. Het is belangrijk dit verschil te kennen, maar ook te weten dat ze met elkaar in verband staan.

Afleiding van de baansnelheid

De baansnelheid is de snelheid van een object dat in een cirkelvormige baan om een zwaarder object beweegt, zoals een planeet om de zon of een satelliet om de aarde. Om deze formule af te leiden, stellen we de middelpuntzoekende kracht gelijk aan de gravitatiekracht, omdat de gravitatiekracht in dit geval de middelpuntzoekende kracht levert.

De formule voor de middelpuntzoekende kracht is: F_{mpz}=\frac{mv^2}{r}

De formule voor de universele gravitatiekracht is: F_{g}=G\frac{Mm}{r^2}

Hierin is:

•m: massa van het kleinere object (bijvoorbeeld satelliet)

•M: massa van het grotere object (bijvoorbeeld aarde)

•r: straal van de baan (afstand tussen de middelpunten van de objecten)

•v: baansnelheid

•G: gravitatieconstante\left(6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2\right)

We stellen de twee krachten aan elkaar gelijk: \frac{mv^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}

Nu kunnen we de formule vereenvoudigen omvte vinden. De kleinem(massa van het kleinere object) valt aan beide kanten weg. Ook kunnen we éénrvan de noemer aan de rechterkant wegstrepen met deraan de linkerkant: v^2 = G \frac{M}{r}

Omvte vinden, nemen we de wortel van beide kanten: v = \sqrt{G \frac{M}{r}}

Met deze formule kun je de baansnelheid van een object op een bepaalde afstand uitrekenen als je de massa van het grotere object kent.

Afleiding van de ontsnappingssnelheid

De ontsnappingssnelheid is de minimale snelheid die een object moet hebben om te ontsnappen aan het gravitatieveld van een planeet of ster. Om deze snelheid te berekenen, maken we gebruik van het principe van energiebehoud. We vergelijken de totale energie van een object op het oppervlak van de planeet met de totale energie wanneer het object zich oneindig ver weg bevindt en geen snelheid meer heeft.

De totale energie\left(E_{totaal}\right)is de som van de kinetische energie\left(E_{k}\right)en de gravitatie-energie\left(E_{g}\right). E_{totaal} = E_k + E_g

Als een object oneindig ver weg is en geen snelheid meer heeft, zijn zowel de kinetische energie als de gravitatie-energie nul: E_{k,oneindig} = 0 E_{g,oneindig} = 0 Dus,E_{totaal,oneindig} = 0.

Op het oppervlak van de planeet (met straalr) heeft het object een kinetische energie van\frac{1}{2}mv^2en een gravitatie-energie van-G \frac{Mm}{r}. Let op het minteken bij de gravitatie-energie, wat aangeeft dat het object gebonden is aan het gravitatieveld.

Volgens het principe van energiebehoud geldt: E_{totaal,oppervlak} = E_{totaal,oneindig} \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}=0

Nu kunnen we de formule herschikken omvte vinden: \frac{1}{2}mv^2=G\frac{Mm}{r}

De kleinem(massa van het object dat ontsnapt) valt aan beide kanten weg: \frac{1}{2}v^2 = G \frac{M}{r}

Vermenigvuldig beide kanten met 2 en neem de wortel: v_{ontsnapping} = \sqrt{2G \frac{M}{r}}

Rekenvoorbeeld: ontsnappingssnelheid van de aarde

Laten we de ontsnappingssnelheid voor de aarde berekenen (met behulp van waardes die in de Binas staan):

•G=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2

•M_{aarde}=5{,}972\cdot10^{24}\text{ kg}

•r_{aarde}=6{,}371\cdot10^6\text{ m}

v_{ontsnapping}=\sqrt{2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2\cdot\frac{5{,}972\cdot10^{24}\text{ kg}}{6{,}371\cdot10^6\text{ m}}} v_{ontsnapping}\approx11186\text{ m/s}\approx11{,}2\text{ km/s}

Dit betekent dat je met een snelheid van ongeveer 11,2 kilometer per seconde recht van de aarde af moet bewegen om aan haar gravitatieveld te ontsnappen.

Afleiding van de derde wet van Kepler

De derde wet van Kepler beschrijft het wiskundige verband tussen de afstand van een planeet tot de zon (of een satelliet tot een planeet) en zijn omlooptijd. Voor planeetbanen gaan we er ook van uit dat ze een eenparige cirkelbeweging maken en dat de middelpuntzoekende kracht wordt geleverd door de gravitatiekracht.

We beginnen weer met de gelijkstelling van de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht: \frac{mv^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}

Nu substitueren we de formule voor de baansnelheidv=\frac{2\pi r}{T}in deze vergelijking. Hierin isTde omlooptijd. \frac{m}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2=G\frac{Mm}{r^2}

Werk de term met het kwadraat uit: \frac{m}{r}\frac{4\pi^2r^2}{T^2}=G\frac{Mm}{r^2}

Vereenvoudig de linkerkant: \frac{4\pi^2mr}{T^2}=G\frac{Mm}{r^2}

De kleinem(massa van de planeet/satelliet) valt aan beide kanten weg. Dit betekent dat de omlooptijd niet afhangt van de massa van het object dat in een baan beweegt. \frac{4\pi^2r}{T^2}=G\frac{M}{r^2}

Nu herschikken we de formule om de verhouding tussenrenTte vinden. We brengenr^2naar de linkerkant enT^2naar de rechterkant: 4\pi^2r\cdot r^2=GMT^2 4\pi^2r^3=GMT^2

Deel beide kanten door4\pi^2enT^2: \frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}

Deze formule laat zien dat de verhouding van de derde macht van de baanstraal\left(r^3\right)tot het kwadraat van de omlooptijd\left(T^2\right)constant is voor alle objecten die om dezelfde centrale massa\left(M\right)draaien. Dit is de derde wet van Kepler. Hoe verder een planeet van de zon staat, hoe langer de omlooptijd.

De geostationaire baan

Een geostationaire baan is een bijzondere baan voor satellieten. Een satelliet in een geostationaire baan lijkt stil te staan boven een vast punt op de evenaar. Dit komt doordat de satelliet precies meedraait met de aarde. De omlooptijd van de satelliet is dan gelijk aan de omlooptijd van de aarde om haar eigen as.

Omdat de omlooptijd$T$van een geostationaire satelliet vaststaat (ongeveer 1 dag), kunnen we met de derde wet van Kepler de benodigde hoogte van deze baan berekenen.

De derde wet van Kepler kan ook geschreven worden als (zoals vaak in Binas te vinden): \frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}

Om de baanstraal\left(r\right)te vinden, herschikken we de formule: r^3 = \frac{GM T^2}{4\pi^2} r = \sqrt[3]{\frac{GM T^2}{4\pi^2}}

Rekenvoorbeeld: hoogte van een geostationaire baan

We vullen de waarden in voor de aarde:

•G=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2

•M_{aarde} = 5{,}972 \cdot 10^{24} \text{ kg}

•T=\text{ omlooptijd van de aarde om haar as }=0{,}997\text{ dagen}(dit is de sidereale dag, iets korter dan 24 uur, omdat de aarde ook om de zon draait).

•T=0{,}997\cdot24\text{ uur/dag}\cdot3600\text{ s/uur}=86140{,}8\text{ s}

r=\sqrt[3]{\frac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot(86140{,}8)^2}{4\pi^2}} r\approx4{,}22\cdot10^7\text{ m}

Dezeris de straal van de baan, gemeten vanaf het middelpunt van de aarde. Om de hoogte boven het aardoppervlak te vinden, moeten we de straal van de aarde\left(r_{aarde}\right)hiervan aftrekken: r_{aarde} = 6{,}371 \cdot 10^6 \text{ m}

\text{Hoogte }=r-r_{aarde}=4{,}22\cdot10^7\text{ m}-6{,}371\cdot10^6\text{ m}\approx3{,}58\cdot10^7\text{ m}

Afgerond is dit ongeveer3{,}6 \cdot 10^7 \text{ m}, oftewel 36.000 kilometer. Op deze hoogte zal een satelliet lijken stil te staan boven een vast punt op de evenaar.

Vallende ruimtesonde

Een ruimtesonde van vijfhonderd kilogram valt vanaf een grote afstand vanuit rust richting een planeet. De planeet heeft een massa en een straal die vergelijkbaar zijn met die van de aarde. Wat is de snelheid van de sonde vlak voordat hij het oppervlak raakt, als er geen luchtweerstand is?

Deze situatie is eigenlijk het omgekeerde van de afleiding van de ontsnappingssnelheid. We gebruiken opnieuw het principe van energiebehoud.

De totale energie aan het begin (oneindig ver weg, vanuit rust):

•De sonde start vanuit rust, dusE_{kin, begin} = 0.

•De sonde is op oneindige afstand, dusE_{grav, begin} = 0.

•E_{totaal, begin} = 0 + 0 = 0.

De totale energie aan het eind (vlak voordat de sonde het oppervlak raakt):

•De sonde heeft een snelheidv, dusE_{kin, eind} = \frac{1}{2}mv^2.

•De sonde bevindt zich op de straal van de planeet, dusE_{grav, eind} = -G \frac{mM}{r}.

Stel de totale energieën aan elkaar gelijk:

•E_{totaal, begin} = E_{totaal, eind}

•0 = \frac{1}{2}mv^2 - G \frac{mM}{r}

Herschik de vergelijking omvte isoleren:

\frac{1}{2}mv^2 = G \frac{mM}{r}

De kleinem(massa van de ruimtesonde) valt weg:

\frac{1}{2}v^2 = G \frac{M}{r}

Vermenigvuldig met 2 en neem de wortel:

v^2 = 2G \frac{M}{r}

v = \sqrt{2G \frac{M}{r}}

Dit is precies dezelfde formule als die voor de ontsnappingssnelheid! Als we de waarden voor de aarde invullen (zoals in het rekenvoorbeeld bij de ontsnappingssnelheid):

v\approx11{,}2\cdot10^3\text{ m/s}=11{,}2\text{ km/s}

De ruimtesonde zal dus met een snelheid van11{,}2\text{ kilometer per seconde}het oppervlak raken. Dit illustreert dat de snelheid waarmee een object vanuit rust vanaf oneindige afstand op een planeet valt, gelijk is aan de ontsnappingssnelheid van die planeet.