Coördinaattransformatie

Leerdoelen

•Je weet wat een coördinaattransformatie is.

•Je kunt een coördinaattransformatie uitvoeren.

Wat is een coördinatentransformatie?

Een coördinatentransformatie is een wiskundig hulpmiddel dat je helpt om een kromme grafiek om te zetten in een rechte grafiek. Dit maakt het makkelijker om relaties tussen grootheden te analyseren en om bepaalde aantallen zoals de richtingscoëfficiënt te bepalen. Bij een coördinatentransformatie pas je de x-coördinaat (de horizontale as) aan, terwijl de y-coördinaat doorgaans gelijk blijft.

Richtingscoëfficiënt en dichtheid

Massavolume grafiek

Bij een rechte lijn kun je de richtingscoëfficiënt bepalen. Stel je een grafiek voor waarop je massa tegen volume uitzet. Meten jullie de massa van verschillende materialen en zetten die uit tegenover hun bijbehorende volumes. De richtingscoëfficiënt van deze lijn staat gelijk aan de dichtheid, omdat dichtheid gedefinieerd wordt als massa gedeeld door volume.

Kromme lijnen

Bij kromme grafieken, zoals een parabolische of exponentiële functie, is het bepalen van de richtingscoëfficiënt niet direct mogelijk. Je kunt wel van een kromme grafieklijn een rechte maken: de grootheid langs de horizontale as pas je daarvoor aan.

Voorbeelden van coördinatentransformaties

Kwadratisch verband

Stel dat je een kwadratisch verband hebt weergegeven als. Hier isevenredig met. Door op de x-as x² in te voeren, krijgen we een rechte lijn.

Omgekeerd evenredig verband

Als we een omgekeerd evenredig verband beschouwen, bijvoorbeeld y=\frac{a}{x}y\frac{a}{x}\frac{a}{x}, dan kun je x omzetten naar\frac{1}{x}op de x-as.

Omgekeerd kwadratisch evenredig verband

Vergelijkbaar met het omgekeerd evenredig verband is er het omgekeerd kwadratisch verband:y=\frac{a}{x^2}y\frac{a}{x^2}\frac{a}{x^2}, waarbij je\frac{1}{x^2}op de x-as zet.

Wortelverband

Bij een wortelverband schrijf jey=a\sqrt{x}ya\sqrt{x}a\sqrt{x}aaaaaaaaa. Hier moet jeop de x-as zetten om een rechte lijn te krijgen.

Voorbeeld: Lichtintensiteit en afstand

Bij een constante lichtbron met een vermogenP_{bron}P_{bro}P_{br}P_{b}PPbPbrPbrois op verschillende afstanden de intensiteit van het licht gemeten. Toon aan dat dit een omgekeerd kwadratisch verband is.

Om aan te tonen dat het verband omgekeerd kwadratisch is, neem je als voorbeeld dat als je de afstand drie keer zo groot maakt, de intensiteit één gedeeld door drie in het kwadraat wordt, oftewel\frac{1}{9}van de originele waarde.

Toepassen van coördinatentransformatie

Bij het toepassen van een coördinatentransformatie van omgekeerd kwadratisch naar een rechte lijn, volg je deze stappen:

•Neem een kolom voor de afstand en reken\frac{1}{x^2}uit voor elk meetpunt op de x-as.

•Houd de intensiteit op de y-as behouden.

•Zet de waarden in een nieuw diagram.

•Als je een rechte lijn krijgt uit de nieuwe gegevens, bewijst dit dat het verband omgekeerd kwadratisch is.

Richtingscoëfficiënt

Deze richtingscoëfficiënt kan gebruikt worden om het vermogen van de lichtbron te bepalen, omdat het vermogen kan worden uitgedrukt als P_{bron}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(bron\right.}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(bron\right)}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(bro\right)}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(br\right)}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(b\right)}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(\right)}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(=\right)}=I\cdot4\pi r^2P_{\left(\right)}=I\cdot4\pi r^2, dus I=\frac{P_{bron}}{4\pi r^2}I=\frac{P_{bro}}{4\pi r^2}I=\frac{P_{br}}{4\pi r^2}I=\frac{P_{b}}{4\pi r^2}.

OmP_{bron}P_{bro}P_{br}P_{b}PPbPbrPbrote bepalen, moeten we de richtingscoëfficiënt bepalen:

We lezen het punt af op 0,3 W/m². Dus, \frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\textrm{m}^2\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\textrm{m}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-2}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}^{-}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\textrm{Wm}\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\,\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017\frac{P_{bron}}{4\pi}=\frac{0,3}{18}=0,017.

P_{bron}=0{,}17\cdot4\pi=0{,}21P_{bron}=0{,}17\cdot4\pi=0{,}21P_{bron}=0{,}17\cdot4\pi=0{,}2P_{bron}=0{,}17\cdot4\pi=0{,}P_{bron}=0{,}17\cdot4\pi=0P_{bron}=0{,}17\cdot4\pi=P_{bron}=0{,}17\cdot4\piP_{bron}=0{,}17\cdot4P_{bron}=0{,}17\cdot4P_{bron}=0{,}17\cdot4P_{bron}=0{,}17\cdot4P_{bron}=0{,}17\cdotP_{bron}=0{,}17P_{bron}=0{,}1P_{bron}=0{,}P_{bron}=0P_{bron}=P_{bron}P_{brn}P_{\left\lbrace brn\right.}P_{\left\lbrace bron\right.}P_{\left\lbrace bron\right\rbrace}P_{\left\lbrace bron\right\rbrace}P_{\left\lbrace bro\right\rbrace}P_{\left\lbrace br\right\rbrace}P_{\left\lbrace b\right\rbrace}P_{\left\lbrace\right\rbrace}PW.