Cirkelbewegingen

Leerdoelen

•Je kunt de formule voor de baansnelheid van een eenparige cirkelbeweging benoemen en toepassen.

•Je kunt rekenen met de middelpuntzoekende kracht.

•Je kunt de formule voor de gravitatiekracht benoemen en toepassen.

•Je kunt de valversnelling op aarde berekenen.

•Je kunt uitleggen wat een ellipsbaan en een geostationaire baan zijn.

Wat is een eenparige cirkelbeweging?

Een eenparige cirkelbeweging is een beweging waarbij een voorwerp een cirkel aflegt met een constante baansnelheid. Hoewel de grootte van de snelheid constant is, verandert de richting voortdurend. Een kracht is nodig om deze beweging mogelijk te maken.

De baansnelheid (v), oftewel de snelheid van het voorwerp in de cirkelbaan, wordt berekend met de formule: v=\frac{2\pi r}{T}

Hierin is:

•v: de baansnelheid in meter per seconde (m/s)

•r: de baanstraal in meter (m), dit is de afstand van het middelpunt waar het voorwerp omheen draait tot aan het voorwerp zelf.

•T: de omlooptijd in seconden (s), dit is de tijd die het voorwerp nodig heeft om één volledige cirkel af te leggen. De term 2\pi r staat voor de omtrek van de cirkel. De formule is dus gebaseerd op snelheid = afstand / tijd.

Voorbeeldberekening baansnelheid van een satelliet

Een satelliet beweegt op 230 kilometer hoogte in een cirkelvormige baan om de aarde. De omlooptijd is 95 minuten.

Vraag 1: Toon aan dat de straal van deze cirkelbaan van de satelliet gelijk is aan 6,601\cdot10^3 kilometer. De straal van de satellietbaan (r) is de straal van de aarde plus de hoogte van de satelliet. De straal van de aarde vind je in Binas-tabel 31: 6,371\cdot10^6 meter. Omgezet naar kilometers is dit 6,371\cdot10 kilometer. De hoogte van de satelliet is 230 kilometer. r=straal_{aarde}+hoogte_{satelliet} r=(6,371\cdot10^3)+230=6371+230=6601=6,6018\cdot10^3km

Vraag 2: Bereken de baansnelheid van de satelliet. Gebruik de formule v=\frac{2\pi r}{T}. De straal r is 6,601\cdot10^3 km, omgerekend naar meter: 6,601\cdot10^6 m. De omlooptijd T is 95 minuten, omgerekend naar seconden: 95\cdot60=5700 s. v=\frac{(2\cdot\pi\cdot6,601\cdot10^6)}{5700}\thickapprox7300=7,3\cdot10^3.

Wat is de middelpuntzoekende kracht?

De middelpuntzoekende kracht (F_{mpz}) is de kracht die een eenparige cirkelbeweging mogelijk maakt. Het is geen nieuw type kracht, maar een algemene term voor de kracht (of resultante van krachten) die ervoor zorgt dat een voorwerp in een cirkelbaan blijft. Voorbeelden zijn de zwaartekracht voor planeten die om een ster bewegen, of de spankracht van een touw bij kogelslingeren.

De grootte van de middelpuntzoekende kracht wordt gegeven door de formule: F_{mpz}=\frac{m\cdot v^2}{r}

Hierin is:

•F_{mpz}: de middelpuntzoekende kracht in Newton (N)

•m: de massa van het voorwerp in kilogram (kg)

•v: de baansnelheid van het voorwerp in meter per seconde (m/s)

•r: de baanstraal in meter (m)

Voorbeeldberekening middelpuntzoekende kracht

Een wasprogramma centrifugeert met een toerental van 1400 omwentelingen per minuut. De diameter van de trommel is 46 centimeter. De massa van het wasgoed is 6 kilogram en het zwaartepunt van de was ligt bij aanvang van het centrifugeren op 5 centimeter van de wand.

Vraag 1: Toon aan dat de eenheid van de middelpuntzoekende kracht Newton is. De formule voor de middelpuntzoekende kracht is F_{mpz}=\frac{m\cdot v^2}{r} De eenheden hiervan zijn: [F_{mpz}] = [m] * [v]² / [r] [F_{mpz}] = kg * (m/s)² / m [$ F_{mpz} $] = kg * m²/s² / m [$ F_{mpz} $] = kg * m / s² Dit is de definitie van de eenheid Newton (N), te vinden in Binas-tabel 4.

Vraag 2: Bereken de middelpuntzoekende kracht. Gegevens:

•Toerental: 1400 omwentelingen per minuut

•Diameter trommel: 46 cm

•Massa wasgoed (m): 6 kg

•Zwaartepunt wasgoed: 5 cm van de wand

1.Bereken de baanstraal (r): De straal van de trommel is de helft van de diameter: 46 cm / 2 = 23 cm. Het zwaartepunt van het wasgoed ligt 5 cm van de wand, dus: r = 23 cm - 5 cm = 18 cm = 0,18 m.

2.Bereken de omlooptijd (T): 1400 omwentelingen in 60 seconden. T=\frac{60}{1400}\thickapprox0,042857 s per omwenteling. (Gebruik \frac{60}{1400} in je rekenmachine voor nauwkeurigheid)

3.Bereken de baansnelheid (v): v=\frac{2\pi r}{T} v=\frac{2\cdot\pi\cdot0,18}{\left(\frac{60}{1400}\right)} v\thickapprox26,39 m/s

4.Bereken de middelpuntzoekende kracht (F_{mpz}): F_{mpz}=\frac{m\cdot v^2}{R} F_{mpz}=\frac{6\cdot(26,39)^2}{0{,}18} F_{mpz}\thickapprox23214=2,3\cdot10^4N

Wat is het verschil tussen zwaartekracht en gravitatiekracht?

De termen zwaartekracht (F_{z}) en gravitatiekracht (F_{g}) zijn nauw verwant.

•De zwaartekracht (F_{z}) is de aantrekkingskracht die de aarde uitoefent op voorwerpen dicht bij het aardoppervlak. De formule hiervoor is: F_{z}=m\cdot g Hierin is:

•m: de massa van het voorwerp in kilogram (kg)

•g: de valversnelling (of gravitatieversnelling) op aarde, ongeveer 9,8 m/s².

•De gravitatiekracht (F_{g}) is de universele aantrekkingskracht tussen alle massa's. Deze kracht is pas merkbaar bij grote massa's, zoals sterren en planeten. Op menselijke schaal is deze kracht onmerkbaar klein. De formule voor de gravitatiekracht is: F_{g}=G\cdot\frac{(m\cdot M)}{r^2} Hierin is:

•G: de gravitatieconstante, een universele constante waarde.

•m: de massa van het kleine voorwerp in kilogram (kg)

•M: de massa van het grote voorwerp (bijvoorbeeld een planeet) in kilogram (kg)

•r: de afstand tussen de middelpunten van de twee massa's in meter (m)

De zwaartekracht (F_{z}) is dus een specifieke toepassing van de gravitatiekracht (F_{g}) op voorwerpen dichtbij het aardoppervlak.

Formule voor de gravitatieversnelling (g)

Door de zwaartekracht en de gravitatiekracht aan elkaar gelijk te stellen, kan de formule voor de gravitatieversnelling (g) worden afgeleid: F_{z}=F_{g} m\cdot g=G\cdot\frac{(m\cdot M)}{r^2} De massa (m) van het kleine voorwerp valt weg aan beide kanten: g=G\cdot\frac{M}{r^2}

Deze formule toont aan dat de valversnelling (g) aan het oppervlak van een planeet afhankelijk is van de massa (M) en de straal (r) van die planeet, evenals de universele gravitatieconstante (G).

Berekening van de valversnelling (g) op aarde

Gebruik de formule g=G\cdot\frac{M_{aarde}}{r_{aarde}^2} en de waarden uit Binas:

•Gravitatieconstante (G):6,674\cdot10^{-11}N m²/kg²

•Massa van de aarde (M_{aarde}):5,972\cdot10^{24} kg

•Straal van de aarde (r_{aarde}): 6,371\cdot10^6 m

g=\frac{(6,674\cdot10^{-11}\cdot5,972\cdot10^{24})}{(6,371\cdot10^6)^2} g ≈ 9,81 m/s²

Welke soorten satellietbanen zijn er?

Satellieten kunnen op verschillende manieren om een planeet draaien. Er zijn natuurlijke satellieten, zoals de maan die om de aarde draait, en kunstmatige satellieten, zoals communicatiesatellieten of ruimtestations.

Wat is een geostationaire cirkelbaan?

Een geostationaire cirkelbaan is een speciale baan waarin een satelliet lijkt stil te staan boven een vast punt op de evenaar van een planeet. Dit is mogelijk, omdat de omlooptijd van de satelliet in deze baan precies gelijk is aan de omlooptijd van de aarde (ongeveer 23 uur, 56 minuten en 4 seconden). De middelpuntzoekende kracht die de satelliet in zijn baan houdt, is hierbij precies gelijk aan de gravitatiekracht die de aarde op de satelliet uitoefent.

Berekening van de hoogte van een geostationaire satelliet

Om de hoogte van een geostationaire satelliet te berekenen, stel je de middelpuntzoekende kracht gelijk aan de gravitatiekracht: F_{mpz}=F_{g} \frac{m\cdot v^2}{r}=G\cdot\frac{m\cdot M}{r^2}

De baansnelheid vkan worden vervangen door v=\frac{2\pi r}{T}:

\frac{\left(m\cdot\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2\right)}{r}=G\cdot\frac{m\cdot M}{r^2}

\frac{m4\pi^2r^2}{rT^2}=G\cdot\frac{m\cdot M}{r^2}

Herschikken geeft de derde wet van Kepler (deze hoef je niet te kennen, maar soms wel toe te passen):

\frac{r^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}

Hieruit kan de straal r van de geostationaire baan worden afgeleid:

r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}

Voor de aarde en een geostationaire satelliet vullen we de volgende waarden in:

r=\sqrt[3]{\frac{6,674\cdot10^{-11}\cdot5,972\cdot10^{24}\cdot86164^2}{4\pi^2}}

r=4{,}21\cdot10^7m

Dit is de straal van de baan, gemeten vanaf het middelpunt van de aarde. Om de hoogte van de satelliet boven het aardoppervlak te vinden, trekken we de straal van de aarde (6,371 * 10⁶ meter) hiervan af: h=r-r_{aarde} h=4,21\cdot10^7-6,38\cdot10^6=3{,}58\cdot10^7 Alle satellieten in een geostationaire baan bevinden zich op ongeveer 3,58\cdot10^7 meter (of 35.800 kilometer) boven de evenaar.

Wat is een ellipsbaan?

Een ellipsbaan is een niet-cirkelvormige baan die de vorm heeft van een ellips. Kometen leggen vaak een ellipsbaan af rond de zon. Een ellips heeft twee brandpunten. Als een hemellichaam een ellipsbaan aflegt, staat het centrale lichaam (bijvoorbeeld de zon) in één van deze brandpunten.

De snelheid van een voorwerp in een ellipsbaan is niet constant:

•De snelheid is maximaal wanneer het voorwerp het dichtst bij het centrale lichaam (de grote massa, bijvoorbeeld de zon) is.

•De snelheid is minimaal wanneer het voorwerp het verst verwijderd is van het centrale lichaam.