Noteer 4 grootheden, met hun bijhorende eenheid, die belangrijk zijn voor krachten.
Leerdoelen
•Je kunt krachten samenstellen in drie verschillende situaties.
•Je kunt de resulterende kracht (F_{res}F_{re}F_{r}F_{\placeholder{}}FFrFre) bepalen en berekenen.
Het samenstellen van krachten en de resulterende kracht
Krachten samenstellen is het optellen van meerdere krachten die op één voorwerp werken. De totale kracht die hieruit voortkomt, wordt de resulterende kracht (of nettokracht) genoemd. Deze resulterende kracht is de kracht die overblijft wanneer alle individuele krachten bij elkaar zijn opgeteld.
Krachten worden weergegeven als vectoren. Een vector is een pijl die de eigenschappen van de kracht toont:
•Het aangrijpingspunt is het beginpunt van de pijl, waar de kracht op het voorwerp werkt.
•De richting is de oriëntatie van de pijl (de werklijn is de denkbeeldige lijn die door de pijl loopt en aangeeft in welke richting de kracht werkt).
•De grootte van de kracht wordt weergegeven door de lengte van de pijl.
Om de grootte van een kracht uit een tekening af te lezen, gebruik je een krachtenschaal. Dit is een verhouding die aangeeft hoeveel newton overeenkomt met een bepaalde lengte in een tekening, bijvoorbeeld: 1 cm ≙ 1 newton.
Hoe stel je krachten samen als de werklijnen samenvallen?
De simpelste situatie is wanneer de werklijnen samenvallen. Dit betekent dat de krachten in dezelfde lijn werken. Ze kunnen in dezelfde richting werken of in tegengestelde richting.
Voorbeeld:
Stel, twee krachten werken op een kast:
•Kracht F_1F_{}F_2F_{}F_{\placeholder{}}F_{}F_{}F_{}F_{\placeholder{}}F: 3 N naar rechts.
•Kracht F_2F_{}F_{\placeholder{}}: 5 N naar rechts.
De resulterende kracht (F_{res}F_{re}F_{r}F_{\placeholder{}}FFrFreFresFreFreeFreesFreeFreFrFr,) bereken je door de groottes van de krachten bij elkaar op te tellen: F_{res}=F_1+F_2Fr_{res}=F_1+F_2Fre_{res}=F_1+F_2Fres_{res}=F_1+F_2Fres_{re}=F_1+F_2Fres_{r}=F_1+F_2Fres_{\placeholder{}}=F_1+F_2Fres=F_1+F_2Fres=F_1+F_{\placeholder{}}Fres=F_1+FFres=F_1+F2Fres=F_{\placeholder{}}+F2Fres=F+F2Fres=F1+F2Fre=F1+F2Fr=F1+F2Fr,=F1+F2 F_{res}=3+5=8\text{ N}F_{re}=3+5=8\text{ N}F_{r}=3+5=8\text{ N}F_{\placeholder{}}=3+5=8\text{ N}F=3+5=8\text{ N}Fr=3+5=8\text{ N}Fre=3+5=8\text{ N}Fres=3+5=8\text{ N}Fres=3+5=8\text{ }Fres=3+5=8Fres=3+5=8NFres=3+5N=8NFres=3N+5N=8NFre=3N+5N=8NFr=3N+5N=8NF=3N+5N=8NFr=3N+5N=8NFr,=3N+5N=8N
Je kunt de resulterende kracht in deze situatie op twee manieren vinden:
1.Bepalen met constructie: Teken de krachten achter elkaar met behulp van een geodriehoek en een krachtenschaal (bijv. 1 cm ≙ 1 N). Meet de totale lengte van de samengestelde vector op en reken deze om naar N.
2.Berekenen: Tel de groottes van de krachten direct bij elkaar op.
Als krachten in tegengestelde richting werken, maar de werklijnen samenvallen, trek je de groottes van elkaar af. Bijvoorbeeld: F_1F_{\placeholder{}}F (3 N rechts) en F_2F_{\placeholder{}}F (5 N links) geeft F_{res}=5-3=2\text{ N}F_{re}=5-3=2\text{ N}F_{r}=5-3=2\text{ N}F_{\placeholder{}}=5-3=2\text{ N}F=5-3=2\text{ N}Fr=5-3=2\text{ N}Fre=5-3=2\text{ N}Fres=5-3=2\text{ N}Fres=5-3=2\text{ }Fres=5-3=2Fres=5-3=Fres=5-3Fres=5-Fres=5Fres=naar links.
Hoe stel je krachten samen als de werklijnen een hoek maken?
Wanneer de werklijnen van twee krachten een hoek met elkaar maken, gebruik je de parallellogrammethode om de resulterende kracht te bepalen. Hierbij construeer je een parallellogram:
1.Teken de twee krachten F_1F_{\placeholder{}}F en F_2F_{\placeholder{}}F vanuit hetzelfde aangrijpingspunt, met de juiste richting en grootte (volgens de krachtenschaal).
2.Trek een hulplijn (gestippeld) door de kop van F_1F_{\placeholder{}}F, evenwijdig aan F_2F_{\placeholder{}}F.
3.Trek een tweede hulplijn door de kop van F_2F_{\placeholder{}}F, evenwijdig aan F_1F_{\placeholder{}}F.
4.Het snijpunt van deze twee hulplijnen vormt het eindpunt van de resulterende kracht.
5.De resulterende kracht (F_{res}F_{re}F_{r}F_{\placeholder{}}FFrFreFresFresFresFrs) begint bij het gezamenlijke aangrijpingspunt van F_1F_{}F_2F_{21}F_2F_{\placeholder{}}FF2FF en F_2F_{\placeholder{}}F en eindigt bij het snijpunt van de hulplijnen.
Meet de lengte van de resulterende kracht op met je geodriehoek. Gebruik de krachtenschaal om de grootte in newton te bepalen.
Voorbeeld:
•F_1=3\text{ N}F_1=3\text{ }F_1=3F_1=3NF_{\placeholder{}}=3NF=3N
•F_2=5\text{ N}F_2=5\text{ }F_2=5F_2=5NF_{\placeholder{}}=5NF=5N
Hoek tussen F_1F_{\placeholder{}}F en F_2F_{\placeholder{}}F = 50 graden. Krachtenschaal: 1 cm ≙ 1 N.
Als je de resulterende kracht opmeet, is deze 7,2 cm lang.
De resulterende kracht is dus 7,2 newton.
Hoe stel je krachten samen als de werklijnen een rechte hoek maken?
Een speciale situatie doet zich voor wanneer de werklijnen van de krachten een rechte hoek (90 graden) met elkaar maken. Hier kun je de resulterende kracht zowel bepalen (met de parallellogrammethode) als berekenen (met Pythagoras of goniometrie).
Fres bepalen bij een rechte hoek
De parallellogrammethode werkt ook hier. De hulplijnen vormen dan een rechthoek. Meet de lengte van de diagonaal op met je geodriehoek en reken deze met de krachtenschaal om naar newton.
Fres berekenen bij een rechte hoek
Omdat de krachten een rechte hoek vormen, kun je een denkbeeldige rechthoekige driehoek construeren. De resulterende kracht is de schuine zijde van deze driehoek. Je kunt de stelling van Pythagoras gebruiken:
F_{res}^2=F_1^2{}+F_2^2F_{re}^2=F_1^2{}+F_2^2F_{r}^2=F_1^2{}+F_2^2F_{\placeholder{}}^2=F_1^2{}+F_2^2F^2=F_1^2{}+F_2^2Fr^2=F_1^2{}+F_2^2Fre^2=F_1^2{}+F_2^2Fres^2=F_1^2{}+F_2^2Fres^2=F_1^2{}+F_2^{\placeholder{}}Fres^2=F_1^2{}+F_2Fres^2=F_1^2{}+F_{2^{}}Fres^2=F_1^2{}+F_{2^2}Fres^2=F_1^2{}+F_{2^{\placeholder{}}}Fres^2=F_1^2{}+F_2Fres^2=F_1^2{}+F_{\placeholder{}}Fres^2=F_1^2{}+FFres^2=F_1^2{}+F2Fres^2=F_1^2{}+F2^Fres^2=F_1^2{}+F2^{2}Fres^2=F_1^{\placeholder{}}{}+F2^{2}Fres^2=F_1{}+F2^{2}Fres^2=F_1^{}+F2^{2}Fres^2=F_1^{2}+F2^{2}Fres^2=F_{\placeholder{}}^{2}+F2^{2}Fres^2=F^{2}+F2^{2}Fres^2=F1^{2}+F2^{2}Fres^{\placeholder{}}=F1^{2}+F2^{2}Fres=F1^{2}+F2^{2}Fres^=F1^{2}+F2^{2}
Voorbeeld:
F_1=3\text{ N}F_{\placeholder{}}=3\text{ N}F=3\text{ N}F1=3\text{ N}F1=3\text{ }F1=3 F_2=5\text{ N}F_{\placeholder{}}=5\text{ N}F=5\text{ N}F2=5\text{ N}F2=5\text{ }F2=5
Berekening: F_{res}^2=3^2+5^2F_{re}^2=3^2+5^2F_{r}^2=3^2+5^2F_{rs}^2=3^2+5^2F_{rse}^2=3^2+5^2F_{rse}^2=3^2+5^2F_{r}^2=3^2+5^2F_{\placeholder{}}^2=3^2+5^2F^2=3^2+5^2Fr^2=3^2+5^2Fre^2=3^2+5^2Fres^2=3^2+5^2Fres^2=3^2+5Fres^2=3^2+5^Fres^2=3^2+5^{2}Fres^2=3+5^{2}Fres^2=3^+5^{2}Fres^2=3^{2}+5^{2}Fres=3^{2}+5^{2}Frs=3^{2}+5^{2}Fr,s=3^{2}+5^{2}Fr,s^=3^{2}+5^{2} F_{res}^2=9+25F_{re}^2=9+25F_{r}^2=9+25F_{\placeholder{}}^2=9+25F^2=9+25Fr^2=9+25Fre^2=9+25Fres^2=9+25Fres=9+25Fress=9+25Fres=9+25Fre=9+25Fr=9+25Fr,=9+25Fr,s=9+25Fr,s^=9+25 F_{res}^2=34F_{re}^2=34F_{r}^2=34F_{\placeholder{}}^2=34F^2=34Fr^2=34Fre^2=34Fres^2=34Fres=34Fres^=34Fres^{2}=34Frs^{2}=34Frrs^{2}=34Frs^{2}=34
F_{res}=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}F_{re}=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}F_{r}=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}F_{\placeholder{}}=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}F=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}Fr=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}Fre=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}Fres=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ N}Fres=\sqrt{34}\thickapprox5,8\text{ }Fres=\sqrt{34}\thickapprox5,8Fres=\sqrt{34}\thickapprox5,8NFres=\sqrt3\thickapprox5,8NFres=\sqrt{\placeholder{}}\thickapprox5,8NFres=\thickapprox5,8NFres=\surd\thickapprox5,8NFres=\surd3\thickapprox5,8NFres=\surd34\thickapprox5,8NFrs=\surd34\thickapprox5,8NFrrs=\surd34\thickapprox5,8NFrs=\surd34\thickapprox5,8N
Hoe kun je krachten berekenen met goniometrie?
Goniometrie is een tak van de wiskunde die de relatie tussen hoeken en zijden in rechthoekige driehoeken beschrijft. Je gebruikt dit als een hoek en één zijde van de driehoek bekend zijn en je een andere zijde of de resulterende kracht wilt berekenen.
De drie goniometrische verhoudingen zijn:
•Sinus (sin): De verhouding tussen de overstaande zijde en de schuine zijde.
•Cosinus (cos): De verhouding tussen de aanliggende zijde en de schuine zijde.
•Tangens (tan): De verhouding tussen de overstaande zijde en de aanliggende zijde.
Een handig ezelsbruggetje om deze te onthouden is SOS CAS TOA:
•Sin = Overstaande / Schuine (\sin\alpha=\frac{O}{S}\sin\alpha=\frac{O}{}\sin\alpha=\frac{O}{s}\sin\alpha=\frac{o}{s}\sin=\frac{o}{s}\sin a=\frac{o}{s}\sin a=\frac{o}{\placeholder{}}\sin a=\frac{}{\placeholder{}}\sin a=\frac{0}{\placeholder{}}\sin a=\frac{}{\placeholder{}}\sin a=\frac{p}{\placeholder{}}\sin a=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}\sin a=\sin a\sinsis\text{d}\text{di}\text{din}\text{di}\text{d})
•Cos = Aanliggende / Schuine (\cos\alpha=\frac{A}{S}\cos=\frac{A}{S}\cos=\frac{A}{}\cos=\frac{A}{s}\cos=\frac{A}{\placeholder{}}\cos=\frac{}{\placeholder{}}\cos=\frac{A}{\placeholder{}}\cos=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}\cos=\coscoc)
•Tan = Overstaande / Aanliggende (\tan\alpha=\frac{O}{A}\tan=\frac{O}{A}\tan=\frac{O}{\placeholder{}}\tan=O\tan=\tantat)
Voorbeeld:
Stel, we hebben een situatie met een rechte hoek, waarbij F_2=5\text{ N}F_{\placeholder{}}=5\text{ N}F=5\text{ N}F2=5\text{ N}F2=5\text{ }F2=5 en de hoek (alfa) tussen F_2F_{\placeholder{}}F en de resulterende kracht (F_{res}F_{re}F_{r}F_{\placeholder{}}FFrFreFresFrs) 30 graden is. F_1F_{\placeholder{}}F is niet bekend. We willen F_{res}F_{re}F_{r}F_{\placeholder{}}FFrFreFresFrs berekenen.
Vanuit hoek alfa is F_2F_{\placeholder{}}F de aanliggende zijde en F_{res}F_{re}F_{r}F_{\placeholder{}}FFrFreFresFrs de schuine zijde. We gebruiken dus de cosinus:
•\cos(\alpha)\cos()\cos(a)co(a)c(a)cos(a)= aanliggende zijde / schuine zijde
•\cos(30\degree)=\frac{F_2}{F_{res}}\cos(30\degree)=\frac{F_2}{F_{re}}\cos(30\degree)=\frac{F_2}{F_{r}}\cos(30\degree)=\frac{F_2}{F_{\placeholder{}}}\cos(30\degree)=\frac{F_2}{F}\cos(30\degree)=\frac{F_2}{Fr}\cos(30\degree)=\frac{F_2}{Fre}\cos(30\degree)=\frac{F_2}{Fres}co(30\degree)=\frac{F_2}{Fres}c(30\degree)=\frac{F_2}{Fres}(30\degree)=\frac{F_2}{Fres}c(30\degree)=\frac{F_2}{Fres}co(30\degree)=\frac{F_2}{Fres}cos(30\degree)=\frac{F_2}{Fres}cos(30)=\frac{F_2}{Fres}cos(3)=\frac{F_2}{Fres}cos()=\frac{F_2}{Fres}cos()=\frac{F_2}{Fre}cos()=\frac{F_2}{Frew}cos()=\frac{F_2}{Fre}cos()=\frac{F_2}{Fr}cos()=\frac{F_2}{F}cos()=\frac{F_2}{\placeholder{}}cos()=F_2cos()=F_{\placeholder{}}cos()=Fcos()=F2cos()=F2/cos()=F2/Fcos()=F2/Frcos()=F2/Fr,
•\cos(30\degree)=\frac{5}{F_{res}}\cos(30\degree)=\frac{5}{F_{re}}\cos(30\degree)=\frac{5}{F_{r}}\cos(30\degree)=\frac{5}{F_{\placeholder{}}}\cos(30\degree)=\frac{5}{F}\cos(30\degree)=\frac{5}{Fr}\cos(30\degree)=\frac{5}{Fre}\cos(30\degree)=\frac{5}{Fres}co(30\degree)=\frac{5}{Fres}c(30\degree)=\frac{5}{Fres}(30\degree)=\frac{5}{Fres}c(30\degree)=\frac{5}{Fres}co(30\degree)=\frac{5}{Fres}cos(30\degree)=\frac{5}{Fres}cos(30\degree)=\frac{5}{Fre}cos(30\degree)=\frac{5}{Fr}cos(30\degree)=\frac{5}{F}cos(30\degree)=\frac{5}{\placeholder{}}cos(30\degree)=5cos(30\degree)=5/cos(30\degree)=5/Fcos(30\degree)=5/Frcos(30\degree)=5/Fr,cos(30\degree)=5/Fr,s
Om F_{res}F_{re}F_{r}F_{\placeholder{}} te vinden, herschrijf je de formule:
•F_{res}=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}F_{re}=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}F_{r}=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}F_{\placeholder{}}=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}F=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}Fr=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}Fre=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}Fres=\frac{F_2}{\cos(30\degree)}Fres=\frac{F_{\placeholder{}}}{\cos(30\degree)}Fres=\frac{F}{\cos(30\degree)}Fres=\frac{F2}{\cos(30\degree)}Fres=\frac{F2}{co(30\degree)}Fres=\frac{F2}{c(30\degree)}Fres=\frac{F2}{(30\degree)}Fres=\frac{F2}{c(30\degree)}Fres=\frac{F2}{co(30\degree)}Fres=\frac{F2}{cos(30\degree)}Fres=\frac{F2}{\placeholder{}}Fres=\frac{F2}{\placeholder{}}cos(30\degree)Fres=F2cos(30\degree)Fres=F2/cos(30\degree)Frs=F2/cos(30\degree)Fr4s=F2/cos(30\degree)Frs=F2/cos(30\degree)Frrs=F2/cos(30\degree)Frs=F2/cos(30\degree)
•F_{res}=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}F_{re}=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}F_{r}=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}F_{\placeholder{}}=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}F=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}Fr=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}Fre=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}Fres=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ N}Fres=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8\text{ }Fres=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8Fres=\frac{5}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{\cos(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{co(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{c(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{c(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{co(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{cos(30\degree)}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{\placeholder{}}\thickapprox5,8NFres=\frac{5N}{\placeholder{}}cos(30\degree)\thickapprox5,8NFres=5Ncos(30\degree)\thickapprox5,8NFres=5N/cos(30\degree)\thickapprox5,8NFrs=5N/cos(30\degree)\thickapprox5,8N
Als je de hoek moet uitrekenen, bijvoorbeeld als F_1F_{\placeholder{}}F en F_2F_{\placeholder{}}F bekend zijn en je de hoek wilt weten die de resulterende kracht maakt met F2, gebruik je de inverse cosinus (cos⁻¹): alfa = cos⁻¹ (aanliggende zijde / schuine zijde), oftewel \alpha=\cos^{-1}\frac{A}{S}=\cos^{-1}\frac{A}{S}=\cos^{-1}\frac{A}{\placeholder{}}=\cos^{-1}A=\cos^{-1}=\cos^{-}=\cos=co=c=.
Situaties samenstellen van krachten
