Wat betekent hoogstens in de kansrekening?

"Hoogstens" in kansrekening betekent "dat aantal of minder". Als je bijvoorbeeld spreekt over "hoogstens 4 keer", dan bedoel je alle uitkomsten van 0, 1, 2, 3 én 4 keer. In wiskundige notatie wordt dit vaak geschreven als $X \le 4$.

Om de kans te berekenen op "hoogstens $k$ successen" ($P(X \le k)$) in een reeks onafhankelijke pogingen (zoals bij een binomiale verdeling), moet je de kansen op elk individueel aantal successen vanaf 0 tot en met $k$ bij elkaar optellen.

De formule hiervoor is: $P(X \le k) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k)$

Elke individuele kans $P(X=x)$ (waarbij $x$ het aantal successen is) wordt berekend met de formule voor de binomiale verdeling: $P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$

Hierin is:

• $n$ = het totale aantal pogingen.
• $p$ = de kans op 'succes' per enkele poging.
• $x$ = het specifieke aantal successen waarvoor je de kans berekent.
• $\binom{n}{x}$ = het aantal manieren om $x$ successen te krijgen in $n$ pogingen, wat berekend wordt als $\frac{n!}{x!(n-x)!}$.

Een voorbeeld: Stel, je gooit 10 keer met een dobbelsteen en je wilt de kans berekenen op "hoogstens 2 keer een 6".

1. Bepaal $n$ en $p$:
   • $n = 10$ (aantal worpen).
   • 'Succes' is een 6 gooien, dus $p = \frac{1}{6}$.
2. Bepaal $k$:
   • "Hoogstens 2 keer een 6" betekent $k=2$. Je moet dus de kansen op 0, 1 en 2 keer een 6 optellen.
3. Bereken de individuele kansen:
   • $P(X=0) = \binom{10}{0} \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^{10}$
   • $P(X=1) = \binom{10}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^{9}$
   • $P(X=2) = \binom{10}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{8}$
4. Tel de kansen op: $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

Je kunt dit vaak snel met een grafische rekenmachine berekenen met functies zoals binomcdf (binomiaal cumulatieve distributie functie), waarbij je direct $P(X \le k)$ kunt vinden.