Hoe bepaal je de vergelijking van een bissectrice met behulp van vectoren?

Question

JoJoschool · Accepted Answer

Om de vergelijking van een bissectrice van een hoek te bepalen met behulp van vectoren, volg je de volgende stappen. Een bissectrice is een lijn die een hoek precies in twee gelijke delen verdeelt.

**Stappen om de vergelijking van een bissectrice te bepalen met vectoren:**

1.  **Bepaal de vectoren van de benen van de hoek:** Stel dat de hoek wordt gevormd door twee lijnen die elkaar snijden in punt $A$. Kies twee punten, $B$ en $C$, op elk van de benen van de hoek, zodat de vectoren $\vec{AB}$ en $\vec{AC}$ de richting van de benen aangeven, beginnend vanuit het hoekpunt $A$.
2.  **Bereken de lengtes van deze vectoren:** Bereken de lengte (magnitude) van $\vec{AB}$ en $\vec{AC}$.
    *   $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
    *   $|\vec{AC}| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$
3.  **Normaliseer de vectoren (indien nodig):** Als de lengtes van $\vec{AB}$ en $\vec{AC}$ niet gelijk zijn, moet je ze normaliseren. Dit betekent dat je eenheidsvectoren creëert in dezelfde richting. Een eenheidsvector $\vec{u}$ van een vector $\vec{v}$ bereken je als $\vec{u} = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}$. Als de lengtes al gelijk zijn, is normaliseren niet strikt noodzakelijk, maar het principe blijft hetzelfde.
4.  **Tel de (genormaliseerde) vectoren op:** De som van twee vectoren met gelijke lengte (of twee eenheidsvectoren) die vanuit hetzelfde punt vertrekken, vormt een richtingsvector voor de bissectrice van de hoek tussen deze twee vectoren. Dit komt doordat de som van twee vectoren met gelijke lengte de diagonaal is van een ruit die door deze vectoren wordt opgespannen, en de diagonalen van een ruit zijn bissectrices van de hoeken van die ruit.
    *   $\vec{r_p} = \vec{AB} + \vec{AC}$ (of de som van de genormaliseerde vectoren).
5.  **Stel de vergelijking van de lijn op:** Je hebt nu een richtingsvector $\vec{r_p}$ en een punt $A$ waar de bissectrice doorheen gaat.
    *   **Parametervoorstelling:** Als $A = (x_A, y_A)$ en $\vec{r_p} = (r_x, r_y)$, dan is de parametervoorstelling:
        $x = x_A + \lambda \cdot r_x$
        $y = y_A + \lambda \cdot r_y$
    *   **Vergelijking in de vorm $y = ax + b$ of $px + qy = r$:** Elimineer $\lambda$ uit de parametervoorstelling om de vergelijking van de lijn te krijgen.

**Voorbeeld:**
Stel, je wilt de vergelijking bepalen van de bissectrice van $\angle BAC$ met punten $A(2, 1)$, $B(5, 2)$ en $C(3, 4)$.

1.  **Bereken de vectoren $\vec{AB}$ en $\vec{AC}$:**
    *   $\vec{AB} = (5-2, 2-1) = (3, 1)$
    *   $\vec{AC} = (3-2, 4-1) = (1, 3)$

2.  **Bereken de lengtes van de vectoren:**
    *   $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
    *   $|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$
    De lengtes zijn gelijk, dus normaliseren is niet strikt nodig voor de richting.

3.  **Tel de vectoren op voor de richtingsvector $\vec{r_p}$:**
    *   $\vec{r_p} = \vec{AB} + \vec{AC} = (3, 1) + (1, 3) = (4, 4)$.
    Deze richtingsvector kan vereenvoudigd worden tot $(1, 1)$, omdat het alleen om de richting gaat.

4.  **Stel een vergelijking op van de bissectrice $p$:**
    De lijn $p$ gaat door punt $A(2, 1)$ en heeft richtingsvector $(1, 1)$.
    *   **Parametervoorstelling:**
        $x = 2 + \lambda \cdot 1 \implies x = 2 + \lambda$
        $y = 1 + \lambda \cdot 1 \implies y = 1 + \lambda$
    *   **Vergelijking in de vorm $y = ax + b$:**
        Uit $x = 2 + \lambda$ volgt $\lambda = x - 2$.
        Substitueer dit in de vergelijking voor $y$:
        $y = 1 + (x - 2)$
        $y = x - 1$

De vergelijking van de bissectrice $p$ is dus $y = x - 1$.

Hoe bepaal je de vergelijking van een bissectrice met behulp van vectoren?

Hoe bepaal je de vergelijking van een bissectrice met behulp van vectoren?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerd materiaal

Vlakke figuren

Parallellogram, ruit en vlieger tekenen

Gerelateerde vragen