Hoe bepaal je de steilheid van een lijn in een ruimtetijd-diagram bij een gegeven snelheid?

Om de steilheid van een lijn in een ruimtetijd-diagram te bepalen bij een gegeven snelheid, is het belangrijk om te weten hoe het diagram is opgebouwd. In een standaard ruimtetijd-diagram (Minkowski-diagram) staat de tijd ($t$) op de verticale as en de positie ($x$) op de horizontale as. Vaak wordt de tijd geschaald als $ct$ (lichttijd) om de lichtsnelheid ($c$) als een lijn onder een hoek van 45 graden weer te geven.

De steilheid (of helling) van een lijn in een ruimtetijd-diagram, die de beweging van een object (een 'wereldlijn') voorstelt, is omgekeerd evenredig met de snelheid van het object. Dit komt doordat de snelheid ($v$) wordt gedefinieerd als $\frac{\Delta x}{\Delta t}$.

In een ruimtetijd-diagram met $x$ op de horizontale as en $ct$ op de verticale as, is de helling ($m$) van een wereldlijn: $m = \frac{\Delta (ct)}{\Delta x} = \frac{c \Delta t}{\Delta x}$ Aangezien de snelheid $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$, kunnen we de formule herschrijven als: $m = \frac{c}{v}$

Dit betekent dat:

• Een object dat stilstaat ($v=0$) heeft een verticale lijn (oneindige helling).
• Een object dat beweegt met de lichtsnelheid ($v=c$) heeft een lijn met een helling van $m = \frac{c}{c} = 1$ (een hoek van 45 graden).
• Hoe groter de snelheid, hoe dichter de lijn bij de horizontale as komt (hoe kleiner de helling).

Voorbeeld: Stel, je hebt een ruimtetijd-diagram waarbij de verticale as $ct$ voorstelt en de horizontale as $x$. Je wilt de steilheid bepalen voor een object dat beweegt met een snelheid van $0,1c$.

1. Gegeven snelheid: $v = 0,1c$
2. Formule voor helling: $m = \frac{c}{v}$
3. Bereken de helling: $m = \frac{c}{0,1c} = \frac{1}{0,1} = 10$

De lijn die de beweging van dit object voorstelt, heeft dus een helling van 10 in dit ruimtetijd-diagram. Dit betekent dat voor elke eenheid die het object horizontaal beweegt (in $x$), het 10 eenheden verticaal beweegt (in $ct$).

Het is belangrijk om altijd te controleren welke grootheden op welke as staan in het specifieke diagram dat je gebruikt, aangezien de conventie kan variëren. Als $x$ op de verticale as en $ct$ op de horizontale as staat, dan is de helling $m = \frac{\Delta x}{\Delta (ct)} = \frac{v}{c}$. In dat geval zou de helling voor $v=0,1c$ gelijk zijn aan $0,1$.