Wat is een stappenplan voor telproblemen?

Een stappenplan voor het oplossen van telproblemen helpt je om systematisch te bepalen welke berekeningsmethode je moet gebruiken.

1. Kijk naar de volgorde:

   • Is de volgorde van belang? Dit betekent dat de volgorde waarin je elementen kiest een verschil maakt. Bijvoorbeeld, als je de eerste, tweede en derde prijs verdeelt onder deelnemers, is de volgorde belangrijk. In dit geval gebruik je een machtsboom ($a^m$) of een faculteitsboom (permutaties, $nPr$).
   • Is de volgorde niet belangrijk? Dit betekent dat de volgorde waarin je elementen kiest geen verschil maakt. Bijvoorbeeld, als je een groepje van 3 studenten kiest uit een klas, maakt de volgorde van kiezen niet uit. In dit geval heb je te maken met combinaties ($\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$, ook wel $nCr$ genoemd).

2. Kijk of er sprake is van terugleggen:

   • Is er sprake van terugleggen? Dit betekent dat een gekozen element weer beschikbaar is voor een volgende keuze. Bijvoorbeeld, als je meerdere keren met een dobbelsteen gooit, kun je elke keer dezelfde uitkomst krijgen. Gebruik dan een machtsboom ($a^m$), waarbij $a$ het aantal keuzes per moment is en $m$ het aantal keuzemomenten.
     • Voorbeeld: Je gooit 3 keer met een dobbelsteen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Elke worp heeft 6 keuzes ($a=6$) en je gooit 3 keer ($m=3$). Het antwoord is $6^3 = 216$.
   • Is er geen sprake van terugleggen? Dit betekent dat een gekozen element niet meer beschikbaar is voor een volgende keuze. Bijvoorbeeld, als je 3 verschillende boeken uit een stapel kiest en op een plank zet, kun je een boek maar één keer kiezen. Gebruik dan een faculteitsboom (permutaties), vaak weergegeven als $\frac{n!}{(n - m)!}$, waarbij $n$ het totaal aantal keuzes is en $m$ het aantal keuzemomenten.
     • Voorbeeld: Je hebt 5 verschillende boeken en je wilt er 3 op een plank zetten in een specifieke volgorde. Hoeveel verschillende volgordes zijn er? $n=5$ (totaal aantal boeken) en $m=3$ (aantal boeken dat je kiest). Het antwoord is $\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

3. Bepaal of je moet optellen of vermenigvuldigen:

   • Blijft de situatie hetzelfde? Dan vermenigvuldig je de mogelijkheden. Dit is vaak het geval als je meerdere onafhankelijke keuzes achter elkaar maakt.
     • Voorbeeld: Je hebt 3 verschillende shirts en 2 verschillende broeken. Hoeveel verschillende outfits kun je maken? De keuze van het shirt beïnvloedt de keuze van de broek niet. Je vermenigvuldigt: $3 \times 2 = 6$ outfits.
   • Verandert de situatie? Dan tel je de mogelijkheden op. Dit is vaak het geval als er verschillende scenario's zijn die elkaar uitsluiten (OF-situaties).
     • Voorbeeld: Je kunt naar school fietsen (1 manier) of met de bus (2 verschillende lijnen). Hoeveel manieren zijn er om naar school te gaan? Je telt de manieren op: $1 + 2 = 3$ manieren.